Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1292 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Является ли последовательность \( \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}}, \, \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}}, \, \frac{1}{\cot \frac{\pi}{6}} \) арифметической прогрессией?
В последовательности:
\( \tan \frac{\pi}{6}, \, \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}}, \, \cot \frac{\pi}{6}; \)
1) Значения членов:
\( a_1 = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}; \)
\( a_2 = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}} = 1 : \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{\sqrt{3}}; \)
\( a_3 = \frac{1}{\cot \frac{\pi}{6}} = 1 : \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}; \)
2) Разность соседних членов:
\( d = a_2 — a_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} — \sqrt{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}; \)
\( d = a_3 — a_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} — \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}}; \)
Ответ: является.
Задана задача:
Является ли последовательность \( \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}}, \, \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}}, \, \frac{1}{\cot \frac{\pi}{6}} \) арифметической прогрессией?
Решение:
1. Рассмотрим последовательность:
\( a_1 = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}}, \, a_2 = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}}, \, a_3 = \frac{1}{\cot \frac{\pi}{6}} \)
2. Используем известные значения тригонометрических функций:
\( \tan \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \), так как тангенс 30 градусов равен \( \frac{1}{\sqrt{3}} \);
\( \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \), так как синус 60 градусов равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \cot \frac{\pi}{6} = \sqrt{3} \), так как котангенс 30 градусов равен \( \sqrt{3} \).
3. Теперь вычислим значения каждого члена последовательности:
\( a_1 = \frac{1}{\tan \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \sqrt{3} \);
\( a_2 = \frac{1}{\sin \frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \);
\( a_3 = \frac{1}{\cot \frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
4. Теперь проверим, является ли последовательность арифметической прогрессией. Для этого нужно, чтобы разность между любыми соседними членами была одинаковой.
5. Вычислим разность между соседними членами:
\( d_1 = a_2 — a_1 = \frac{2}{\sqrt{3}} — \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}} — \frac{3}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \);
\( d_2 = a_3 — a_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} — \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{1 — 2}{\sqrt{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \).
6. Поскольку разности между соседними членами равны, последовательность является арифметической прогрессией.
Ответ: Да, последовательность является арифметической прогрессией.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.