Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1291 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а) \( \frac{\sqrt{(\cos 60^\circ — \sin 60^\circ)^2}}{\sin 30^\circ (1 — \tan 60^\circ)}; \)
б) \( \frac{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \tan \frac{\pi}{3} \right)^2}}{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \cot \frac{\pi}{3} \right)^2}}. \)
Найдите значение выражения:
а) \( \frac{\sqrt{(\cos 60^\circ — \sin 60^\circ)^2}}{\sin 30^\circ (1 — \tan 60^\circ)} = \frac{\sqrt{\left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2}}{\frac{1}{2} \cdot (1 — \sqrt{3})} = \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} \right)}{1 — \sqrt{3}} = -1; \)
б) \( \frac{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \tan \frac{\pi}{3} \right)^2}}{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \cot \frac{\pi}{3} \right)^2}} = \frac{\sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3} \right)^2}}{\sqrt{\left( \sqrt{3} — \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3}} = 1; \)
Задана задача:
Найдите значение выражения:
a) \( \frac{\sqrt{(\cos 60^\circ — \sin 60^\circ)^2}}{\sin 30^\circ (1 — \tan 60^\circ)} \);
b) \( \frac{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \tan \frac{\pi}{3} \right)^2}}{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \cot \frac{\pi}{3} \right)^2}} \).
a) \( \frac{\sqrt{(\cos 60^\circ — \sin 60^\circ)^2}}{\sin 30^\circ (1 — \tan 60^\circ)} \)
1. Начнём с подстановки значений тригонометрических функций:
\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \);
\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \);
\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \);
\( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \).
2. Подставим эти значения в выражение:
\( \frac{\sqrt{\left( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2}}{\frac{1}{2} \cdot (1 — \sqrt{3})} \)
3. Преобразуем числитель. Сначала вычислим разность внутри скобок:
\( \frac{1}{2} — \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 — \sqrt{3}}{2} \)
4. Теперь возведём это выражение в квадрат:
\( \left( \frac{1 — \sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{(1 — \sqrt{3})^2}{4} = \frac{1 — 2\sqrt{3} + 3}{4} = \frac{4 — 2\sqrt{3}}{4} = 1 — \frac{\sqrt{3}}{2} \)
5. Теперь извлечём квадратный корень:
\( \sqrt{1 — \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} \)
6. Перейдём к знаменателю. Вспоминаем, что \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) и \( \tan 60^\circ = \sqrt{3} \), и подставим их значения:
\( 1 — \sqrt{3} \)
7. Теперь всё подставим и упростим выражение:
\( \frac{2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} — \frac{1}{2} \right)}{1 — \sqrt{3}} = -1 \)
Ответ: \( -1 \).
б) \( \frac{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \tan \frac{\pi}{3} \right)^2}}{\sqrt{\left( \cot \frac{\pi}{6} — \cot \frac{\pi}{3} \right)^2}} \)
1. Вспоминаем значения тригонометрических функций:
\( \cot \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \);
\( \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} \);
\( \cot \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
2. Подставим эти значения в выражение:
\( \frac{\sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3} \right)^2}}{\sqrt{\left( \sqrt{3} — \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2}} \)
3. Преобразуем разности в числителе и знаменателе:
Числитель: \( \frac{\sqrt{3}}{3} — \sqrt{3} = -\frac{2\sqrt{3}}{3} \);
Знаменатель: \( \sqrt{3} — \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \).
4. Подставим эти выражения в числитель и знаменатель:
\( \frac{\sqrt{\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3} \right)^2}}{\sqrt{\left( \frac{2\sqrt{3}}{3} \right)^2}} \)
5. Вычислим квадраты и извлечём квадратные корни:
\( \frac{\frac{4 \cdot 3}{9}}{\frac{4 \cdot 3}{9}} = 1 \)
Ответ: \( 1 \).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.