Учебник «Алгебра. 9 класс. Углубленный уровень» под редакцией Макарычева заслуженно считается одним из самых популярных и востребованных пособий для изучения алгебры в школах. Этот учебник выделяется своей структурой, содержанием и подходом к обучению, который позволяет глубже понять основные математические концепции.
Особенности учебника
- Логичная структура
Учебник построен таким образом, что темы излагаются последовательно и взаимосвязано. Каждая новая глава опирается на знания, полученные ранее, что облегчает усвоение материала. - Углубленный уровень сложности
Пособие ориентировано на учеников, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Это делает его отличным выбором для тех, кто готовится к олимпиадам, экзаменам или просто хочет углубить свои знания в математике. - Практическая направленность
В учебнике представлено множество задач различной сложности — от простых тренировочных примеров до сложных задач повышенного уровня. Это помогает ученикам развивать логическое мышление и навыки решения нестандартных задач. - Наглядность и примеры
Каждый теоретический раздел сопровождается подробными примерами, которые помогают лучше понять и применить материал на практике. - Задания для самостоятельной работы
В конце каждой главы предлагаются задания для самостоятельного выполнения, что позволяет закрепить изученный материал и проверить свои знания.
Кому подойдет этот учебник?
Данное пособие идеально подходит для учеников 9-го класса, которые изучают алгебру на углубленном уровне. Также оно будет полезно репетиторам, учителям и родителям, которые хотят помочь своим детям в изучении математики.
Преимущества и недостатки
Плюсы:
- Четкое и доступное изложение сложных тем.
- Большое количество практических заданий.
- Упор на развитие логического мышления.
Минусы:
- Для некоторых учеников материал может показаться слишком сложным.
- Требуется хорошая база знаний для успешного освоения.
В итоге, учебник Макарычева — это отличный инструмент для тех, кто стремится к высоким результатам в изучении алгебры. Его использование требует усердия и регулярной работы, но результат оправдывает усилия.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1285 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
На окружности с центром в начале координат отмечена точка \( M \), соответствующая числу \( \frac{2\pi}{9} \). Запишите одной формулой числа, соответствующие точкам \( M \) и \( M’ \), если точка \( M’ \) симметрична точке \( M \) относительно:
а) оси абсцисс;
б) оси ординат;
в) началу координат.
Точка окружности \( M \) соответствует числу \( \frac{2\pi}{9} \);
Точка \( M’ \) симметрична точке \( M \) относительно:
а) Оси абсцисс: \( a = -\frac{2\pi}{9}; \)
б) Оси ординат: \( a = \pi — \frac{2\pi}{9} = \frac{7\pi}{9}; \)
в) Началу координат: \( a = \pi + \frac{2\pi}{9} = \frac{11\pi}{9}; \)
Задача: На окружности с центром в начале координат отмечена точка \( M \), соответствующая числу \( \frac{2\pi}{9} \). Запишите одной формулой числа, соответствующие точкам \( M \) и \( M’ \), если точка \( M’ \) симметрична точке \( M \) относительно:
а) оси абсцисс;
б) оси ординат;
в) началу координат.
Решение:
Дано, что точка окружности \( M \) соответствует числу \( \frac{2\pi}{9} \). Теперь найдем числа, соответствующие точкам \( M \) и \( M’ \) для каждой симметрии.
а) Симметрия относительно оси абсцисс:
При симметрии относительно оси абсцисс угол изменяет знак на противоположный. То есть для точки \( M’ \), симметричной относительно оси абсцисс, угол будет равен:
\( a = -\frac{2\pi}{9} \)
б) Симметрия относительно оси ординат:
При симметрии относительно оси ординат угол, соответствующий точке \( M’ \), будет равен \( \pi \) минус угол \( \frac{2\pi}{9} \). То есть:
\( a = \pi — \frac{2\pi}{9} = \frac{9\pi}{9} — \frac{2\pi}{9} = \frac{7\pi}{9} \)
в) Симметрия относительно начала координат:
При симметрии относительно начала координат угол, соответствующий точке \( M’ \), будет равен \( \pi \) плюс угол \( \frac{2\pi}{9} \). То есть:
\( a = \pi + \frac{2\pi}{9} = \frac{9\pi}{9} + \frac{2\pi}{9} = \frac{11\pi}{9} \)
Ответ:
- а) \( a = -\frac{2\pi}{9} \)
- б) \( a = \frac{7\pi}{9} \)
- в) \( a = \frac{11\pi}{9} \)
Пояснение:
Для симметрии относительно оси абсцисс меняется знак угла. Для симметрии относительно оси ординат угол вычисляется как \( \pi \) минус исходный угол. Для симметрии относительно начала координат угол будет равен \( \pi \) плюс исходный угол.
Глава 7 Тригонометрические функции и их свойства
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.