ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1278 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения функции:

а) \( y = \sqrt[4]{x^2 — 7x — 30}; \)

б) \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{6x^2 — 5x — 6}}. \)

Найти область определения:

а) \( y = \sqrt[4]{x^2 — 7x — 30}; \)

Область определения:

\( x^2 — 7x — 30 \geq 0; \)

\( D = 7^2 + 4 \cdot 30 = 49 + 120 = 169, \) тогда:

\( x_1 = \frac{7 — 13}{2} = -3 \) и \( x_2 = \frac{7 + 13}{2} = 10; \)

\( (x + 3)(x — 10) \geq 0; \)

\( x \leq -3, \, x \geq 10; \)

Ответ: \( D(x) = (-\infty; -3] \cup [10; +\infty). \)

б) \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{6x^2 — 5x — 6}}; \)

Область определения:

\( 6x^2 — 5x — 6 \neq 0; \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 \cdot 6 = 25 + 144 = 169, \) тогда:

\( x_1 = \frac{5 — 13}{2 \cdot 6} = \frac{2}{3} \) и \( x_2 = \frac{5 + 13}{2 \cdot 6} = 1.5; \)

Ответ: \( D(x) \neq \left\{ — \frac{2}{3}, 1.5 \right\}. \)

Задача: Найдите область определения функции:

а) \( y = \sqrt[4]{x^2 — 7x — 30} \);

б) \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{6x^2 — 5x — 6}} \).

Решение:

а) \( y = \sqrt[4]{x^2 — 7x — 30} \):

Для нахождения области определения функции с четным корнем, нам нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным, то есть:

\( x^2 — 7x — 30 \geq 0 \).

Решим неравенство \( x^2 — 7x — 30 \geq 0 \) с помощью дискриминанта. Для этого найдём дискриминант:

Дискриминант \( D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \).

Корни квадратного уравнения \( x^2 — 7x — 30 = 0 \) находятся по формулам:

\( x_1 = \frac{-(-7) — \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 — 13}{2} = -3 \),

\( x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = 10 \).

Таким образом, неравенство \( x^2 — 7x — 30 \geq 0 \) имеет вид:

\( (x + 3)(x — 10) \geq 0 \).

Решим это неравенство с помощью метода интервалов. Неравенство выполняется при \( x \leq -3 \) или \( x \geq 10 \).

Ответ: \( D(x) = (-\infty; -3] \cup [10; +\infty) \).

б) \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{6x^2 — 5x — 6}} \):

Для нахождения области определения этой функции, нам нужно, чтобы выражение под кубическим корнем не было равно нулю, так как деление на ноль невозможно:

\( 6x^2 — 5x — 6 \neq 0 \).

Решим уравнение \( 6x^2 — 5x — 6 = 0 \) с помощью дискриминанта. Для этого найдём дискриминант:

Дискриминант \( D = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 25 + 144 = 169 \).

Корни квадратного уравнения \( 6x^2 — 5x — 6 = 0 \) находятся по формулам:

\( x_1 = \frac{-(-5) — \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{5 — 13}{12} = \frac{-8}{12} = \frac{-2}{3} \),

\( x_2 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 13}{12} = \frac{18}{12} = 1.5 \).

Таким образом, выражение под корнем равно нулю при \( x = \frac{-2}{3} \) и \( x = 1.5 \), и нам нужно исключить эти значения из области определения функции.

Ответ: \( D(x) \neq \left\{- \frac{2}{3}, 1.5 \right\} \).

Объяснение:

Для функции \( y = \sqrt[4]{x^2 — 7x — 30} \) область определения определяется тем, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. Мы нашли корни квадратного уравнения и определили, когда выражение будет неотрицательным, а затем нашли соответствующие интервалы для области определения.

Для функции \( y = \frac{1}{\sqrt[3]{6x^2 — 5x — 6}} \) область определения зависит от того, что выражение под кубическим корнем не может быть равно нулю. Мы нашли корни квадратного уравнения и исключили их из области определения, так как деление на ноль невозможно.