ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1277 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В координатной плоскости отмечены точки \( M(2; 4) \), \( N(-2; 3) \), \( P(-2; -4) \) и \( K(5; -3) \). В какие точки они перейдут при повороте координатной плоскости около точки \( O \) на угол \( \alpha \), если:

а) \( \alpha = \frac{\pi}{2}; \)

б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2}; \)

в) \( \alpha = \pi; \)

г) \( \alpha = -\pi? \)

В какие точки перейдут данные точки:

\( M(2; 4), N(-2; 3), P(-2; -4), K(5; -3); \)

а) \( a = \frac{\pi}{2}; \)

\( M(-4; 2), N(-3; -2), P(4; -2), K(3; 5); \)

б) \( a = -\frac{\pi}{2}; \)

\( M(4; -2), N(3; 2), P(-4; 2), K(-3; -5); \)

в) \( a = \pi; \)

\( M(-2; -4), N(2; -3), P(2; 4), K(-5; 3); \)

Задача: В координатной плоскости отмечены точки \( M(2; 4) \), \( N(-2; 3) \), \( P(-2; -4) \) и \( K(5; -3) \). В какие точки они перейдут при повороте координатной плоскости вокруг точки \( O \) на угол \( \alpha \), если:

а) \( \alpha = \frac{\pi}{2} \);

б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2} \);

в) \( \alpha = \pi;\)

г) \( \alpha = -\pi?\)

Решение:

При повороте координатной плоскости вокруг начала координат \( O(0, 0) \) на угол \( \alpha \), координаты точек меняются по следующим формулам:

Если точка \( M(x, y) \) поворачивается на угол \( \alpha \), то её новые координаты \( M'(x’, y’) \) будут:

• \( x’ = x \cos \alpha — y \sin \alpha \),
• \( y’ = x \sin \alpha + y \cos \alpha \).

Теперь, давайте рассмотрим поворот для каждого угла:

а) \( \alpha = \frac{\pi}{2} \):

При повороте на угол \( \frac{\pi}{2} \) (90°) происходит следующее:

• Точка \( M(2; 4) \) поворачивается в точку \( M'(-4; 2) \),
• Точка \( N(-2; 3) \) поворачивается в точку \( N'(-3; -2) \),
• Точка \( P(-2; -4) \) поворачивается в точку \( P'(4; -2) \),
• Точка \( K(5; -3) \) поворачивается в точку \( K'(3; 5) \).

Ответ: \( M'(-4; 2), N'(-3; -2), P'(4; -2), K'(3; 5) \).

б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2} \):

При повороте на угол \( -\frac{\pi}{2} \) (-90°) происходит следующее:

• Точка \( M(2; 4) \) поворачивается в точку \( M'(4; -2) \),
• Точка \( N(-2; 3) \) поворачивается в точку \( N'(3; 2) \),
• Точка \( P(-2; -4) \) поворачивается в точку \( P'(-4; 2) \),
• Точка \( K(5; -3) \) поворачивается в точку \( K'(-3; -5) \).

Ответ: \( M'(4; -2), N'(3; 2), P'(-4; 2), K'(-3; -5) \).

в) \( \alpha = \pi \):

При повороте на угол \( \pi \) (180°) происходит следующее:

• Точка \( M(2; 4) \) поворачивается в точку \( M'(-2; -4) \),
• Точка \( N(-2; 3) \) поворачивается в точку \( N'(2; -3) \),
• Точка \( P(-2; -4) \) поворачивается в точку \( P'(2; 4) \),
• Точка \( K(5; -3) \) поворачивается в точку \( K'(-5; 3) \).

Ответ: \( M'(-2; -4), N'(2; -3), P'(2; 4), K'(-5; 3) \).

г) \( \alpha = -\pi \):

При повороте на угол \( -\pi \) (-180°) происходит тот же эффект, что и при повороте на \( \pi \), но в противоположную сторону:

• Точка \( M(2; 4) \) поворачивается в точку \( M'(-2; -4) \),
• Точка \( N(-2; 3) \) поворачивается в точку \( N'(2; -3) \),
• Точка \( P(-2; -4) \) поворачивается в точку \( P'(2; 4) \),
• Точка \( K(5; -3) \) поворачивается в точку \( K'(-5; 3) \).

Ответ: \( M'(-2; -4), N'(2; -3), P'(2; 4), K'(-5; 3) \).

Объяснение:

Для поворота точек на плоскости относительно начала координат мы использовали стандартные формулы поворота в полярных координатах. Для каждого угла поворота мы применяли формулы преобразования координат точек с учётом изменения угла. Эти преобразования описываются стандартными тригонометрическими функциями для поворота на заданный угол. В результате, каждая точка после поворота перемещается в новые координаты, и мы нашли их для всех случаев задачи.