ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1276 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Координатная плоскость (рис. 118) поворачивается около точки \( O \) на угол \( \alpha \). В какие точки перейдут при этом точки \( A(4; 0) \), \( B(0; 3) \), \( C(-5; 0) \) и \( D(0; -2) \), если:

а) \( \alpha = \frac{\pi}{2}; \)

б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2}; \)

в) \( \alpha = \pi; \)

г) \( \alpha = -\pi? \)

В какие точки перейдут эти точки:

\( A(4; 0); B(0; 3); C(-5; 0); D(0; -2); \)

а) \( \alpha = \frac{\pi}{2}; \)

\( A(0; 4); B(-3; 0); C(0; -5); D(2; 0); \)

б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2}; \)

\( A(0; -4); B(3; 0); C(0; 5); D(-2; 0); \)

в) \( \alpha = \pi; \)

\( A(-4; 0); B(0; -3); C(5; 0); D(0; 2); \)

г) \( \alpha = -\pi; \)

\( A(-4; 0); B(0; 3); C(5; 0); D(0; 2); \)

Задача: Координатная плоскость поворачивается вокруг точки \( O \) на угол \( \alpha \). В какие точки перейдут при этом точки \( A(4; 0) \), \( B(0; 3) \), \( C(-5; 0) \) и \( D(0; -2) \), если:

а) \( \alpha = \frac{\pi}{2} \);

б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2} \);

в) \( \alpha = \pi \);

г) \( \alpha = -\pi \)?

Решение:

При повороте точки на угол \( \alpha \) вокруг начала координат \( O(0, 0) \) координаты точек меняются по следующей формуле:

Если точка \( P(x, y) \) поворачивается на угол \( \alpha \), то новые координаты \( P'(x’, y’) \) вычисляются по формулам:

• \( x’ = x \cos \alpha — y \sin \alpha \),
• \( y’ = x \sin \alpha + y \cos \alpha \).

Теперь, давайте рассмотрим поворот для каждой из точек и каждого угла поворота:

а) \( \alpha = \frac{\pi}{2} \):

При повороте на угол \( \frac{\pi}{2} \) (90°) происходит следующий эффект:

• Точка \( A(4; 0) \) поворачивается в точку \( A'(0; 4) \),
• Точка \( B(0; 3) \) поворачивается в точку \( B'(-3; 0) \),
• Точка \( C(-5; 0) \) поворачивается в точку \( C'(0; -5) \),
• Точка \( D(0; -2) \) поворачивается в точку \( D'(2; 0) \).

Ответ: \( A'(0; 4), B'(-3; 0), C'(0; -5), D'(2; 0) \).

б) \( \alpha = -\frac{\pi}{2} \):

При повороте на угол \( -\frac{\pi}{2} \) (-90°) происходит поворот в противоположную сторону:

• Точка \( A(4; 0) \) поворачивается в точку \( A'(0; -4) \),
• Точка \( B(0; 3) \) поворачивается в точку \( B'(3; 0) \),
• Точка \( C(-5; 0) \) поворачивается в точку \( C'(0; 5) \),
• Точка \( D(0; -2) \) поворачивается в точку \( D'(-2; 0) \).

Ответ: \( A'(0; -4), B'(3; 0), C'(0; 5), D'(-2; 0) \).

в) \( \alpha = \pi \):

При повороте на угол \( \pi \) (180°) происходит поворот на половину окружности:

• Точка \( A(4; 0) \) поворачивается в точку \( A'(-4; 0) \),
• Точка \( B(0; 3) \) поворачивается в точку \( B'(0; -3) \),
• Точка \( C(-5; 0) \) поворачивается в точку \( C'(5; 0) \),
• Точка \( D(0; -2) \) поворачивается в точку \( D'(0; 2) \).

Ответ: \( A'(-4; 0), B'(0; -3), C'(5; 0), D'(0; 2) \).

г) \( \alpha = -\pi \):

При повороте на угол \( -\pi \) (-180°) происходит тот же эффект, что и при повороте на \( \pi \), но в противоположную сторону. Это также равнозначно полному развороту на 180°:

• Точка \( A(4; 0) \) поворачивается в точку \( A'(-4; 0) \),
• Точка \( B(0; 3) \) поворачивается в точку \( B'(0; 3) \),
• Точка \( C(-5; 0) \) поворачивается в точку \( C'(5; 0) \),
• Точка \( D(0; -2) \) поворачивается в точку \( D'(0; 2) \).

Ответ: \( A'(-4; 0), B'(0; 3), C'(5; 0), D'(0; 2) \).

Объяснение:

Мы использовали стандартные формулы для поворота точек на плоскости, где угол поворота был задан в радианах. Для каждой точки, чтобы найти её новые координаты после поворота, использовалась формула поворота: \( x’ = x \cos \alpha — y \sin \alpha \) и \( y’ = x \sin \alpha + y \cos \alpha \). В результате мы нашли новые координаты для каждой точки при различных углах поворота.