ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1275 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Напишите формулу для вычисления угла \( \alpha \), если при повороте начального радиуса на этот угол он переходит в радиус, расположенный:

а) на луче \( Ox \);

б) на луче, противоположном лучу \( Ox \);

в) на луче \( Oy \);

г) на луче, противоположном лучу \( Oy \);

д) на оси \( x \);

е) на оси \( y \).

Найти все углы поворота \( \alpha \), если точка \( A(R; 0) \) переходит в точку:

а) \( B(0; R); \)

Ответ: \( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n. \)

б) \( B(0; -R); \)

Ответ: \( \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n. \)

в) \( B(R; 0); \)

Ответ: \( \alpha = 2\pi n. \)

г) \( B(-R; 0); \)

Ответ: \( \alpha = \pi + 2\pi n. \)

д) \( B(0; \pm R); \)

Ответ: \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n. \)

е) \( B(\pm R; 0); \)

Ответ: \( \alpha = \pi n. \)

Задача: Напишите формулу для вычисления угла \( \alpha \), если при повороте начального радиуса на этот угол он переходит в радиус, расположенный:

а) на луче \( Ox \);

б) на луче, противоположном лучу \( Ox \);

в) на луче \( Oy \);

г) на луче, противоположном лучу \( Oy \);

д) на оси \( x \);

е) на оси \( y \).

Решение:

Мы рассматриваем вращение начального радиуса \( OA \), который начинается на положительном луче оси \( x \), и после поворота он переходит в одну из заданных позиций. Рассмотрим каждую ситуацию по очереди.

а) Радиус на луче \( Ox \):

Если после поворота радиус снова оказывается на луче \( Ox \), то угол поворота должен быть кратен \( 2\pi \) (полный оборот), то есть:

\( \alpha = 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( \alpha = 2\pi n \).

б) Радиус на луче, противоположном лучу \( Ox \):

Если радиус оказывается на противоположном луче \( Ox \) (на отрицательном участке оси \( x \)), угол поворота будет равен \( \pi \) (полуповорот), плюс возможный полный оборот:

\( \alpha = \pi + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( \alpha = \pi + 2\pi n \).

в) Радиус на луче \( Oy \):

Если радиус после поворота оказывается на луче \( Oy \) (положительный луч оси \( y \)), то угол поворота будет равен \( \frac{\pi}{2} \) (четверть оборота), плюс полный оборот, то есть:

\( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( \alpha = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

г) Радиус на луче, противоположном лучу \( Oy \):

Если радиус оказывается на противоположном луче \( Oy \) (на отрицательном участке оси \( y \)), угол поворота будет равен \( -\frac{\pi}{2} \), плюс полный оборот:

\( \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( \alpha = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \).

д) Радиус на оси \( x \):

Если радиус оказывается на оси \( x \) (на положительном или отрицательном участке оси \( x \)), угол поворота равен \( \pi \) (полуповорот), плюс возможный полный оборот:

\( \alpha = \pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( \alpha = \pi n \).

е) Радиус на оси \( y \):

Если радиус после поворота оказывается на оси \( y \) (на положительном или отрицательном участке оси \( y \)), угол поворота будет равен \( \frac{\pi}{2} \) или \( \frac{3\pi}{2} \), плюс полный оборот:

\( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \), где \( n \) — целое число.

Ответ: \( \alpha = \frac{\pi}{2} + \pi n \).

Объяснение:

Мы рассматриваем повороты радиуса \( OA \), который после поворота оказывается на определённых лучах или осях. Для каждого случая мы определяем угол поворота в виде \( \alpha_0 + 2n\pi \), где \( \alpha_0 \) — остаточный угол, который лежит в диапазоне \( 0 \leq \alpha_0 < 2\pi \), а \( n \) — целое число, которое отражает количество полных оборотов. В каждом случае угол \( \alpha_0 \) равен углу, соответствующему одному из четырёх стандартных направлений на окружности, а значение \( n \) позволяет учесть возможные дополнительные обороты.