ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1265 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько общих точек имеют:
а) прямая x + 2y = 5 и окружность x² + y² = 5;
б) окружность x² + y² = 10 и прямая x — 3y = 9;
в) прямая x — y = 6 и парабола y = x² + 10;
г) парабола x = y² — 5 и окружность x² + y² = 100?

Количество общих точек:

а) \( x + 2y = 5; \, x^2 + y^2 = 5; \)

Первое уравнение:

\( x = 5 — 2y; \)

Второе уравнение:

\( (5 — 2y)^2 + y^2 = 5; \)

\( 25 — 20y + 4y^2 + y^2 = 5; \)

\( 5y^2 — 20y + 20 = 0; \)

\( y^2 — 4y + 4 = 0; \)

\( (y — 2)^2 = 0; \)

Ответ: одна точка.

б) \( x^2 + y^2 = 10; \, x — 3y = 9; \)

Второе уравнение:

\( x = 3y + 9; \)

Первое уравнение:

\( (3y + 9)^2 + y^2 = 10; \)

\( 9y^2 + 54y + 81 + y^2 = 10; \)

\( 10y^2 + 54y + 71 = 0; \)

\( D = 54^2 — 4 \cdot 10 \cdot 71; \)

\( D = 2916 — 2840 = 76; \)

Ответ: две точки.

в) \( x — 6 = 0; \, y = x^2 + 10; \)

Первое уравнение:

\( y = x — 6; \)

Второе уравнение:

\( x — 6 = x^2 + 10; \)

\( x^2 — x + 16 = 0; \)

\( D = 1^2 — 4 \cdot 16; \)

\( D = 1 — 64 = -63; \)

Ответ: нет точек.

г) \( x = y^2 — 5; \, x^2 + y^2 = 100; \)

Первое уравнение:

\( y^2 = x + 5; \)

Второе уравнение:

\( x^2 + x + 5 = 100; \)

\( x^2 + x — 95 = 0; \)

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-95); \)

\( D = 1 + 380 = 381; \)

тогда:

\( x_1 = \frac{-1 — \sqrt{381}}{2} \) и \( x_2 = \frac{-1 + \sqrt{381}}{2}; \)

Область определения:

\( x + 5 > 0; \, x > -5; \)

Ответ: две точки.

Задача: Сколько общих точек имеют:

а) прямая \( x + 2y = 5 \) и окружность \( x^2 + y^2 = 5 \);

б) окружность \( x^2 + y^2 = 10 \) и прямая \( x — 3y = 9 \);

в) прямая \( x — y = 6 \) и парабола \( y = x^2 + 10 \);

г) парабола \( x = y^2 — 5 \) и окружность \( x^2 + y^2 = 100 \)?

Решение:

а) Прямая \( x + 2y = 5 \) и окружность \( x^2 + y^2 = 5 \):

Из первого уравнения выразим \( x \):

\( x = 5 — 2y \).

Подставим это значение во второе уравнение:

\( (5 — 2y)^2 + y^2 = 5 \),

раскроем скобки:

\( 25 — 20y + 4y^2 + y^2 = 5 \),

упростим выражение:

\( 5y^2 — 20y + 20 = 0 \),

или

\( y^2 — 4y + 4 = 0 \),

что даёт

\( (y — 2)^2 = 0 \),

то есть \( y = 2 \). Подставим это значение в \( x = 5 — 2y \), получим:

\( x = 5 — 2 \cdot 2 = 1 \).

Ответ: одна точка \( (1, 2) \).

б) Окружность \( x^2 + y^2 = 10 \) и прямая \( x — 3y = 9 \):

Из второго уравнения выразим \( x \):

\( x = 3y + 9 \).

Подставим это значение в первое уравнение:

\( (3y + 9)^2 + y^2 = 10 \),

раскроем скобки:

\( 9y^2 + 54y + 81 + y^2 = 10 \),

упростим:

\( 10y^2 + 54y + 71 = 0 \),

найдём дискриминант:

\( D = 54^2 — 4 \cdot 10 \cdot 71 = 2916 — 2840 = 76 \),

так как \( D > 0 \), существует два корня, что означает две точки пересечения.

Ответ: две точки.

в) Прямая \( x — y = 6 \) и парабола \( y = x^2 + 10 \):

Из первого уравнения выразим \( y \):

\( y = x — 6 \).

Подставим это во второе уравнение:

\( x — 6 = x^2 + 10 \),

переносим все в одну сторону:

\( x^2 — x + 16 = 0 \),

находим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 16 = 1 — 64 = -63 \),

так как дискриминант отрицателен, нет действительных решений.

Ответ: нет точек пересечения.

г) Парабола \( x = y^2 — 5 \) и окружность \( x^2 + y^2 = 100 \):

Из первого уравнения выразим \( y^2 \):

\( y^2 = x + 5 \).

Подставим это во второе уравнение:

\( x^2 + (x + 5) = 100 \),

упрощаем:

\( x^2 + x + 5 = 100 \),

\( x^2 + x — 95 = 0 \),

находим дискриминант:

\( D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-95) = 1 + 380 = 381 \),

так как \( D > 0 \), существует два корня, то есть два значения \( x \). Подставляем их в уравнение \( y^2 = x + 5 \), получаем два возможных значения для \( y \).

Ответ: две точки.