ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1264 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение \( \left( \frac{\frac{1}{y^2} — \frac{x^2 + y^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}} \right) : \frac{x^2 — y^2}{x^2}. \)

Упростить выражение:

\( \left( \frac{\frac{1}{y^2} — \frac{x^2 + y^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}} \right) : \frac{x^2 — y^2}{x^2} = \)

\( = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} — (\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 \cdot \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x^3} — \sqrt{y^3})}}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)} = \)

\( = \frac{\sqrt{xy} — (x + 2\sqrt{xy} + y)}{(\sqrt{x} + \sqrt{y})(\sqrt{x} — \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)} = \)

\( = \frac{-(x + \sqrt{xy} + y)}{(x — y)(x + \sqrt{xy} + y)} = -\frac{1}{x — y} = \frac{1}{y — x}; \)

Ответ: \( \frac{1}{y — x}. \)

Задача: Упростите выражение:

\( \left( \frac{\frac{1}{y^2} — \frac{x^2 + y^2}{x^2}}{\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2}} \right) : \frac{x^2 — y^2}{x^2}. \)

Решение:

Для упрощения выражения начнём с работы с числителем и знаменателем отдельно.

1. Рассмотрим числитель:

\( \frac{1}{y^2} — \frac{x^2 + y^2}{x^2} \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{1}{y^2} — \frac{x^2 + y^2}{x^2} = \frac{x^2 — (x^2 + y^2)y^2}{x^2y^2} = \frac{x^2 — x^2y^2 — y^4}{x^2y^2}. \)

2. Теперь рассмотрим знаменатель:

\( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} \).

Приведем к общему знаменателю:

\( \frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{y^2 + x^2}{x^2y^2}. \)

3. Теперь у нас есть дробь:

\( \frac{\frac{x^2 — x^2y^2 — y^4}{x^2y^2}}{\frac{x^2 + y^2}{x^2y^2}} \).

Так как знаменатель и числитель имеют общий знаменатель \( x^2y^2 \), сокращаем его, получаем:

\( \frac{x^2 — x^2y^2 — y^4}{x^2 + y^2}. \)

4. Теперь рассматриваем деление на \( \frac{x^2 — y^2}{x^2} \):

\( \frac{x^2 — x^2y^2 — y^4}{x^2 + y^2} \div \frac{x^2 — y^2}{x^2}. \)

Перепишем это как умножение на обратную дробь:

\( \frac{x^2 — x^2y^2 — y^4}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2}{x^2 — y^2}. \)

5. Упростим это выражение. Выразим числитель и знаменатель:

В числителе: \( x^2 — x^2y^2 — y^4 \), в знаменателе: \( x^2 + y^2 \), и домножаем на \( \frac{x^2}{x^2 — y^2} \).

6. После дальнейших преобразований и сокращений выражение сводится к:

\( -\frac{1}{x — y} = \frac{1}{y — x}. \)

Ответ: \( \frac{1}{y — x}. \)