ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 7 Номер 1263 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что функция \( y = n^2 — 2n + 1 \), где \( n \) — натуральное число, обратима. Постройте её график и график обратной ей функции. Задайте обратную функцию формулой.

Задана функция:

\( y = n^2 — 2n + 1; \)

\( y = (n — 1)^2; \)

1) Если \( n_1 > n_2 \), тогда:

\( n_1 — 1 > n_2 — 1; \)

\( (n_1 — 1)^2 > (n_2 — 1)^2; \)

2) Обратная функция:

\( n = y^2 — 2y + 1 = (y — 1)^2; \)

\( \sqrt{n} = y — 1, \, y = \sqrt{n} + 1; \)

3) Графики функций:

Задача: Докажите, что функция \( y = n^2 — 2n + 1 \), где \( n \) — натуральное число, обратима. Постройте её график и график обратной ей функции. Задайте обратную функцию формулой.

Решение:

Задана функция:

\( y = n^2 — 2n + 1 \), где \( n \) — натуральное число. Эта функция может быть записана как:

\( y = (n — 1)^2 \).

Для того чтобы доказать, что функция обратима, нам нужно показать, что она монотонна. Если функция монотонна, то она будет обратимой.

1) Рассмотрим два числа \( n_1 \) и \( n_2 \), такие что \( n_1 > n_2 \). Тогда:

\( n_1 — 1 > n_2 — 1 \),

и

\( (n_1 — 1)^2 > (n_2 — 1)^2 \).

Это доказывает, что функция \( y = (n — 1)^2 \) является строго возрастающей, а значит, она обратима.

2) Теперь найдём обратную функцию. Для этого выразим \( n \) через \( y \). Из уравнения \( y = (n — 1)^2 \) получаем:

\( n — 1 = \sqrt{y}, \, n = \sqrt{y} + 1 \).

Таким образом, обратная функция будет:

\( n = \sqrt{y} + 1 \), или \( y = (n — 1)^2 \).

Графики функций:

График функции \( y = (n — 1)^2 \) будет параболой, открывающейся вверх, и график обратной функции \( n = \sqrt{y} + 1 \) будет кривой, отражающейся от оси \( y = 0 \).