ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1247 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В урне 10 белых и 5 черных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что извлеченными окажутся:

а) 2 белых и 1 черный шар;

б) 1 белый и 2 черных шара?

В урне лежат шары:

\( N_1 = 10 \) — белые;

\( N_2 = 5 \) — черные;

\( N = N_1 + N_2 = 15; \)

а) Извлекли 2 белых и 1 черный:

\( P(A) = \frac{C_{10}^2 \cdot C_5^1}{C_{15}^3} = \frac{\frac{10!}{8! \cdot 2!} \cdot \frac{5!}{4! \cdot 1!}}{\frac{15!}{12! \cdot 3!}}; \)

\( P(A) = \frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2}; \)

\( P(A) = \frac{45 \cdot 5 \cdot 6}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{90}{182} = \frac{45}{91}; \)

Ответ: \( \frac{45}{91}. \)

б) Извлекли 1 белый и 2 черных:

\( P(A) = \frac{C_{10}^1 \cdot C_5^2}{C_{15}^3} = \frac{\frac{10!}{9! \cdot 1!} \cdot \frac{5!}{3! \cdot 2!}}{\frac{15!}{12! \cdot 3!}}; \)

\( P(A) = 10 \cdot \frac{5 \cdot 4}{2} \cdot \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2}; \)

\( P(A) = \frac{10 \cdot 10 \cdot 6}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{40}{182} = \frac{20}{91}; \)

Ответ: \( \frac{20}{91}. \)

Задача: В урне 10 белых и 5 чёрных шаров. Наугад вынимают 3 шара. Какова вероятность того, что извлечёнными окажутся:

a) 2 белых и 1 чёрный шар;

b) 1 белый и 2 чёрных шара?

Решение:

В урне всего 15 шаров: 10 белых и 5 чёрных. Общее количество способов выбрать 3 шара из 15 равно сочетанию \( C_{15}^3 \), которое рассчитывается по формуле:

\( C_{15}^3 = \frac{15!}{12! \cdot 3!} \).

a) Вероятность того, что будут извлечены 2 белых и 1 чёрный шар:

Для того чтобы выбрать 2 белых шара, используем сочетание \( C_{10}^2 \), для выбора 1 чёрного шара — сочетание \( C_5^1 \).

Таким образом, вероятность того, что будут извлечены 2 белых и 1 чёрный шар, равна:

\( P(A) = \frac{C_{10}^2 \cdot C_5^1}{C_{15}^3} \).

Посчитаем сочетания:

\( C_{10}^2 = \frac{10!}{8! \cdot 2!} = \frac{10 \cdot 9}{2} = 45 \),

\( C_5^1 = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \),

\( C_{15}^3 = \frac{15!}{12! \cdot 3!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 455 \).

Теперь вычислим вероятность:

\( P(A) = \frac{45 \cdot 5}{455} = \frac{225}{455} = \frac{45}{91} \).

Ответ: \( \frac{45}{91} \).

b) Вероятность того, что будут извлечены 1 белый и 2 чёрных шара:

Для того чтобы выбрать 1 белый шар, используем сочетание \( C_{10}^1 \), для выбора 2 чёрных шаров — сочетание \( C_5^2 \).

Таким образом, вероятность того, что будут извлечены 1 белый и 2 чёрных шара, равна:

\( P(B) = \frac{C_{10}^1 \cdot C_5^2}{C_{15}^3} \).

Посчитаем сочетания:

\( C_{10}^1 = \frac{10!}{9! \cdot 1!} = 10 \),

\( C_5^2 = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \),

\( C_{15}^3 = 455 \) (та же величина, что и в предыдущем расчете).

Теперь вычислим вероятность:

\( P(B) = \frac{10 \cdot 10}{455} = \frac{100}{455} = \frac{20}{91} \).

Ответ: \( \frac{20}{91} \).