ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1241 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Ящик со 100 игрушками содержит 10 игрушек с дефектами. Из ящика случайным образом извлекают 5 игрушек. Какова вероятность, что хотя бы одна игрушка окажется с дефектом?

В ящике 10 игрушек из 100 с дефектами;

Вероятность, что среди пяти есть дефект:

\( N = C_{100}^5 = \frac{100!}{5! \cdot 95!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}; \)

\( N(A) = C_{90}^5 = \frac{90!}{5! \cdot 85!} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}; \)

\( P(A) = 1 — \frac{N(A)}{N} = 1 — \frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}; \)

\( P(A) \approx 1 — 0.58375 \approx 0.41625; \)

Ответ: 0,41625.

Задача: Ящик со 100 игрушками содержит 10 игрушек с дефектами. Из ящика случайным образом извлекают 5 игрушек. Какова вероятность, что хотя бы одна игрушка окажется с дефектом?

Решение:

Для нахождения вероятности того, что хотя бы одна игрушка окажется с дефектом, удобнее сначала найти вероятность того, что все 5 извлечённых игрушек будут без дефектов, а затем вычесть её из 1 (полной вероятности).

В ящике 10 игрушек с дефектами и 90 игрушек без дефектов. Если все извлечённые игрушки без дефектов, то все они будут выбраны из 90 исправных игрушек. Количество способов выбрать 5 игрушек из 90 исправных — это сочетание \( C_{90}^5 \). Количество способов выбрать 5 игрушек из 100 общих — это сочетание \( C_{100}^5 \).

Таким образом, вероятность того, что все 5 игрушек будут без дефектов, равна:

\( P(\text{все без дефекта}) = \frac{C_{90}^5}{C_{100}^5} \).

Теперь найдем соответствующие сочетания:

\( C_{100}^5 = \frac{100!}{5! \cdot 95!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \),

\( C_{90}^5 = \frac{90!}{5! \cdot 85!} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \).

Теперь вероятность того, что хотя бы одна игрушка будет с дефектом, равна:

\( P(A) = 1 — \frac{C_{90}^5}{C_{100}^5} = 1 — \frac{90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 87 \cdot 86}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96} \).

Вычислим это выражение:

\( P(A) \approx 1 — 0.58375 \approx 0.41625 \).

Ответ: 0,41625.