ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1239 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите наименьшее значение \( n \), при котором значение выражения \( \frac{P_{2n}}{P_{n-1}} \) оканчивается точно пятью нулями.

Оканчивается пятью нулями:

\( P_{2n} = \frac{(2n)!}{n!} = \frac{\underbrace{5 \cdot \ldots \cdot 5}_{m} \cdot \ldots}{\underbrace{5 \cdot \ldots \cdot 5}_{k}}; \)

Количество пятерок в числителе на 5 больше, чем в знаменателе:

\( n = 15, \, m = 7, \, k = 2, \, m — k = 5; \)

Ответ: 15.

Задача: Найдите наименьшее значение \( n \), при котором значение выражения \( \frac{P_{2n}}{P_{n-1}} \) оканчивается точно пятью нулями.

Решение:

Для начала напишем выражение для перестановок:

\( P_{2n} = \frac{(2n)!}{n!} \), а также \( P_{n-1} = (n-1)! \).

Нам нужно найти наименьшее значение \( n \), при котором выражение \( \frac{P_{2n}}{P_{n-1}} \) оканчивается точно пятью нулями. Это эквивалентно тому, чтобы число \( \frac{P_{2n}}{P_{n-1}} \) делилось на \( 10^5 = 2^5 \cdot 5^5 \), то есть на 32 и 3125. Важным моментом здесь является количество пятерок в числителе и знаменателе.

В числителе (в факториале \( (2n)! \)) и знаменателе (в факториале \( n! \)) важную роль играют числа, которые содержат фактор 5, так как они влияют на количество нулей в конце числа. Для каждого числа, которое делится на 5, мы получаем один фактор 5. Таким образом, нам нужно посчитать количество пятерок в числителе и знаменателе.

Число пятерок в числителе — это количество чисел от 1 до \( 2n \), которые делятся на 5. Это количество равно \( \left\lfloor \frac{2n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{2n}{25} \right\rfloor + \dots \), где \( \left\lfloor x \right\rfloor \) — это целая часть от \( x \). Аналогично для знаменателя, количество пятерок в \( n! \) равно \( \left\lfloor \frac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n}{25} \right\rfloor + \dots \).

Нам нужно, чтобы разница между количеством пятерок в числителе и знаменателе была равна 5. Это даст нам ровно 5 нулей в конце числа.

Рассчитаем для \( n = 15 \):

• В числителе \( 2n = 30 \), количество пятерок в \( (2n)! \) равно \( \left\lfloor \frac{30}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{30}{25} \right\rfloor = 6 + 1 = 7 \).
• В знаменателе \( n = 15 \), количество пятерок в \( n! \) равно \( \left\lfloor \frac{15}{5} \right\rfloor = 3 \).

Разница между количеством пятерок в числителе и знаменателе равна \( 7 — 3 = 5 \), что означает, что наименьшее значение \( n \), при котором выражение \( \frac{P_{2n}}{P_{n-1}} \) оканчивается ровно пятью нулями, равно 15.

Ответ: 15.