ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1222 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких действительных значениях параметра \( a \) предикат является тождеством:

а) \( (x < a) \lor (x + 1 > 0); \)

б) \( ((x + 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x + 1)(x — 2) > 0); \)

в) \( ((x + 1)(x — 2) \geq 0) \lor ((x + 1)(x — a) > 0); \)

г) \( (x(x — a) \leq 0) \to ((x — 3)(x — 1) \leq 0). \)

Предикат является тождеством:

а) \( (x < a) \lor (x + 1 > 0); \)

\( x + 1 > 0, \, x > -1; \)

Ответ: \( a > -1 \).

б) \( ((x + 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x + 1)(x — 2) > 0); \)

\( (x + 1)(x — 2) > 0, \, x < -1, \, x > 2; \)

\( (x + 1)(x — a) \leq 0, \, -1 \leq x \leq a; \)

Ответ: \( a \geq 2 \).

в) \( ((x + 1)(x — 2) \leq 0) \lor ((x + 1)(x — a) > 0); \)

\( (x + 1)(x — 2) \leq 0, \, -1 \leq x \leq 2; \)

\( (x + 1)(x — a) > 0, \, x < -1, \, x > a; \)

Ответ: \( -1 \leq a \leq 2 \).

г) \( (x(x — a) \geq 0) \to ((x — 3)(x — 1) \geq 0); \)

\( x(x — a) < 0, \, (x — 3)(x — 1) \geq 0; \)

\( x(x — a) < 0, \, 0 \leq x < a; \)

Ответ: \( a \geq 3 \).

Задана задача: При каких действительных значениях параметра \( a \) предикат является тождеством:

a) \( (x < a) \lor (x + 1 > 0); \)

1. Рассмотрим второе выражение \( x + 1 > 0 \). Это простое неравенство выполняется, когда \( x > -1 \). То есть, для всех \( x > -1 \) это выражение всегда истинно.

2. Рассмотрим дизъюнкцию \( (x < a) \lor (x + 1 > 0) \). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из выражений истинно. Поскольку второе выражение истинно для всех \( x > -1 \), то первое выражение \( x < a \) может быть любым, так как оно не влияет на истинность дизъюнкции, если второе выражение истинно. Однако, чтобы предикат был тождеством, то есть истинным для всех \( x \), необходимо, чтобы \( a > -1 \). Это обеспечит, что первое выражение будет истинно для \( x \) в интервале \( (-\infty; a) \), а второе выражение будет истинно для всех \( x > -1 \). Таким образом, чтобы предикат был тождеством, необходимо, чтобы \( a > -1 \).

Ответ: \( a > -1 \).

b) \( ((x + 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x + 1)(x — 2) > 0); \)

1. Рассмотрим первое выражение \( (x + 1)(x — a) \leq 0 \). Это неравенство выполняется, когда произведение двух факторов не больше нуля. Для этого \( x + 1 \) и \( x — a \) должны иметь противоположные знаки или один из них равен нулю. Таким образом, это выражение выполняется, когда \( -1 \leq x \leq a \), то есть для значений \( x \) в интервале от \( -1 \) до \( a \), включая границы.

2. Рассмотрим второе выражение \( (x + 1)(x — 2) > 0 \). Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковые знаки, то есть \( x < -1 \) или \( x > 2 \). Это условие выполняется в двух интервалах: \( (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \).

3. Теперь рассмотрим дизъюнкцию \( ((x + 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x + 1)(x — 2) > 0) \). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из выражений истинно. Таким образом, для предиката быть тождеством, необходимо, чтобы значения \( x \), для которых одно из выражений истинно, охватывали всю числовую прямую. Это возможно, если \( a \geq 2 \), потому что в этом случае, интервал \( (-1 \leq x \leq a) \) будет перекрывать область, где \( (x + 1)(x — 2) > 0 \).

Ответ: \( a \geq 2 \).

в) \( ((x + 1)(x — 2) \leq 0) \lor ((x + 1)(x — a) > 0); \)

1. Рассмотрим первое выражение \( (x + 1)(x — 2) \leq 0 \). Это выражение выполняется, когда \( x \in [-1, 2] \), то есть на отрезке от \( -1 \) до \( 2 \), включительно.

2. Рассмотрим второе выражение \( (x + 1)(x — a) > 0 \). Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковые знаки, то есть \( x < -1 \) или \( x > a \). Это условие выполняется в двух интервалах: \( (-\infty; -1) \cup (a; +\infty) \).

3. Теперь рассмотрим дизъюнкцию \( ((x + 1)(x — 2) \leq 0) \lor ((x + 1)(x — a) > 0) \). Дизъюнкция истинна, если хотя бы одно из выражений истинно. Для того чтобы предикат был тождеством, необходимо, чтобы объединение интервалов, на которых эти выражения истинны, покрывало всю числовую прямую. Для этого нужно, чтобы \( -1 \leq a \leq 2 \). В этом случае значения \( x \), для которых выражение истинно, будут перекрывать всю числовую прямую.

Ответ: \( -1 \leq a \leq 2 \).

г) \( (x(x — a) \leq 0) \to ((x — 3)(x — 1) \leq 0); \)

1. Рассмотрим первое выражение \( x(x — a) \leq 0 \). Это неравенство выполняется, когда произведение двух множителей не больше нуля, то есть когда \( 0 \leq x \leq a \).

2. Рассмотрим второе выражение \( (x — 3)(x — 1) \leq 0 \). Это неравенство выполняется, когда \( 1 \leq x \leq 3 \), то есть на отрезке от \( 1 \) до \( 3 \), включительно.

3. Рассмотрим импликацию \( (x(x — a) \leq 0) \to ((x — 3)(x — 1) \leq 0) \). Импликация ложна, если левое выражение истинно, а правое ложно. Таким образом, чтобы импликация была тождеством (всегда истинной), необходимо, чтобы \( a \geq 3 \), так как в этом случае область, где \( (x — 3)(x — 1) \leq 0 \), будет включать все значения, для которых выражение \( x(x — a) \leq 0 \) истинно.

Ответ: \( a \geq 3 \).