ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1221 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите на координатной прямой те значения \( x \), при которых предикат обращается в истинное высказывание:

а) \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + 2 \leq 0); \)

б) \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 — x < 0); \)

в) \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 — x < 0). \)

Истинное высказывание:

а) \( (\overline{x^2 + 2x — 3 \leq 0}) \lor (x^2 + 2 \geq 0); \)

\( x^2 + 2x — 3 < 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \, x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)

\( (x + 3)(x — 1) < 0; \)

\( -3 < x < 1; \)

На координатной прямой:

б) \( (\overline{x^2 + 2x — 3 \geq 0}) \land (x^2 — x \leq 0); \)

\( x^2 + 2x — 3 \geq 0, \, x^2 — x \leq 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \, x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)

\( (x + 3)(x — 1) \geq 0, \, x \leq -3, \, x \geq 1; \)

\( x(x — 1) \leq 0, \, 0 \leq x \leq 1; \)

На координатной прямой:

в) \( (\overline{x^2 + 2x — 3 \geq 0}) \land (\overline{x^2 — x \geq 0}); \)

\( x^2 + 2x — 3 \geq 0, \, x^2 — x \leq 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \) тогда:

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \, x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1; \)

\( (x + 3)(x — 1) \geq 0, \, x \leq -3, \, x \geq 1; \)

\( x(x — 1) \leq 0, \, 0 \leq x \leq 1; \)

Все решения:

\( x \leq -3, \, x \geq 1; \)

На координатной прямой:

Задана задача: Изобразите на координатной прямой те значения \( x \), при которых предикат обращается в истинное высказывание:

a) \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + 2 \leq 0); \)

1. Рассмотрим первое неравенство \( x^2 + 2x — 3 \geq 0 \):

Решаем квадратное неравенство. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

\( x^2 + 2x — 3 = 0 \)

Дискриминант \( D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \), корни уравнения:

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2} = -3, \, x_2 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \)

Таким образом, \( x^2 + 2x — 3 \geq 0 \) выполняется для \( x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \).

2. Рассмотрим второе неравенство \( x^2 + 2 \leq 0 \):

Так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \), то \( x^2 + 2 \geq 2 \), и не может быть меньше или равно нулю. Следовательно, это неравенство не выполняется для любых \( x \).

3. Теперь рассмотрим дизъюнкцию \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + 2 \leq 0) \). Поскольку второе неравенство ложно, дизъюнкция будет истинна, если выполняется первое неравенство. Таким образом, истинные значения для \( x \) соответствуют \( x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \).

b) \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 — x < 0); \)

1. Рассмотрим первое неравенство \( x^2 + 2x — 3 \geq 0 \), которое мы уже решали. Оно выполняется для \( x \in (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \).

2. Рассмотрим второе неравенство \( x^2 — x < 0 \). Перепишем его в виде:

\( x(x — 1) < 0 \)

Решением этого неравенства является интервал \( (0; 1) \).

3. Теперь рассмотрим конъюнкцию: \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 — x < 0) \). Конъюнкция истинна, если оба неравенства выполняются одновременно. Таким образом, пересечение интервалов \( (-\infty; -3] \cup [1; +\infty) \) и \( (0; 1) \) дает пустое множество, так как они не пересекаются.

в) \( (x^2 + 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 — x < 0); \)

1. Рассмотрим первое неравенство \( x^2 — 5x + 6 \leq 0 \). Найдем его корни:

Дискриминант: \( D = 25 — 24 = 1 \), корни уравнения:

\( x_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \, x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)

Таким образом, \( x^2 — 5x + 6 \leq 0 \) выполняется для \( x \in [2; 3] \).