ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1217 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) предикат \( \overline{A(x)} \) будет тождеством, если:

а) \( A(x): 4x + 1 \geq 2ax; \)

б) \( A(x): x^2 \geq 4x — a^2. \)

Является тождеством \( \overline{A(x)} \):

а) \( A(x): 4x + 1 \geq 2ax; \)

\( \overline{A(x)}: 4x + 1 < 2ax; \)

\( 4x — 2ax < -1; \)

\( x(4 — 2a) < -1; \)

Ответ: \( \emptyset \)

б) \( A(x): x^2 \geq 4x — a^2; \)

\( \overline{A(x)}: x^2 < 4x — a^2; \)

\( x^2 — 4x + a^2 < 0; \)

\( D = 4^2 — 4a^2 < 0; \)

\( 16 — 4a^2 < 0; \)

\( a^2 — 4 > 0; \)

\( (a + 2)(a — 2) > 0; \)

\( a < -2, \, a > 2; \)

Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty). \)

Задана задача: При каких значениях параметра \( a \) предикат \( \overline{A(x)} \) будет тождеством, если:

a) \( A(x): 4x + 1 \geq 2ax; \)

Рассмотрим предикат \( \overline{A(x)} \), который означает, что неравенство \( A(x) \) не выполняется, то есть:

\( \overline{A(x)}: 4x + 1 < 2ax; \)

Перепишем неравенство:

\( 4x — 2ax < -1 \)

Вынесем \( x \) за скобки:

\( x(4 — 2a) < -1 \)

Это неравенство не имеет решения для всех \( x \), если \( 4 — 2a \neq 0 \), так как результат зависит от значения \( a \). Однако при \( 4 — 2a = 0 \), то есть при \( a = 2 \), выражение становится:

\( 0 < -1 \), что ложно.

Следовательно, не существует значений параметра \( a \), для которых предикат \( \overline{A(x)} \) будет тождеством.

Ответ: \( \emptyset \) (пустое множество).

b) \( A(x): x^2 \geq 4x — a^2; \)

Рассмотрим предикат \( \overline{A(x)} \), который означает, что неравенство \( A(x) \) не выполняется, то есть:

\( \overline{A(x)}: x^2 < 4x — a^2; \)

Перепишем это неравенство:

\( x^2 — 4x + a^2 < 0 \)

Теперь найдём дискриминант этого квадратного неравенства. Для выражения \( x^2 — 4x + a^2 \) дискриминант \( D \) равен:

\( D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot a^2 = 16 — 4a^2 \)

Неравенство \( x^2 — 4x + a^2 < 0 \) будет иметь решение, если дискриминант меньше нуля, то есть:

\( D < 0 \)

Подставим выражение для дискриминанта:

\( 16 — 4a^2 < 0 \)

Решим это неравенство:

\( 4a^2 > 16 \)

\( a^2 > 4 \)

\( a > 2 \, \text{или} \, a < -2 \)

Таким образом, предикат \( \overline{A(x)} \) будет тождеством для \( a \in (-\infty, -2) \cup (2, +\infty) \).

Ответ: \( (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \).