ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1214 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите на координатной прямой множество тех значений переменной \( x \), для которых предикат \( A(x) \) принимает значение «истина», если:

а) \( A(x): x^3 + x — 2 \leq 0; \)

б) \( A(x): \frac{x^3 + 3x — 4}{x^2 + 3x — 4} \geq 0. \)

Предикат \( \overline{A(x)} \) является верным:

а) \( A(x): x^3 + x — 2 \leq 0; \)

\( \overline{A(x)}: x^3 + x — 2 > 0; \)

\( x^3 — 1 + x — 1 > 0; \)

\( (x — 1)(x^2 + x + 1 + 1) > 0; \)

\( (x — 1)(x^2 + x + 2) > 0; \)

\( x — 1 > 0, \, x > 1; \)

На координатной прямой:

б) \( A(x): \frac{x^3 + 3x — 4}{x^2 + 3x — 4} \geq 0; \)

\( \overline{A(x)}: \frac{x^3 + 3x — 4}{x^2 + 3x — 4} < 0; \)

\( \frac{x^3 — 1 + 3x — 3}{x^2 + x + 4} < 0; \)

\( \frac{(x — 1)(x^2 + x + 1 + 3)}{x + 4} < 0; \)

\( \frac{x^2 + x + 4}{x + 4} \leq 0; \)

\( x + 4 < 0, \, x — 1 \neq 0; \)

\( x < -4, \, x \neq -1; \)

На координатной прямой:

Задана задача: Изобразите на координатной прямой множество тех значений переменной \( x \), для которых предикат \( A(x) \) принимает значение «истина», если:

a) \( A(x): x^3 + x — 2 \leq 0; \)

Рассмотрим неравенство:

\( x^3 + x — 2 \leq 0 \)

1. Для нахождения корней этого кубического уравнения, рассмотрим соответствующее уравнение:

\( x^3 + x — 2 = 0 \)

Попробуем подставить несколько значений для \(x\), чтобы найти корни. При \( x = 1 \):

\( 1^3 + 1 — 2 = 0 \)

Таким образом, \( x = 1 \) является корнем этого уравнения. Теперь разложим кубическое выражение на множители:

\( x^3 + x — 2 = (x — 1)(x^2 + x + 2) \)

2. Далее решим неравенство \( (x — 1)(x^2 + x + 2) \leq 0 \). Заметим, что \( x^2 + x + 2 \) всегда положительно, так как дискриминант \( \Delta = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 — 8 = -7 \), который меньше нуля. Это означает, что квадратное выражение всегда больше нуля для всех \(x\).

Таким образом, неравенство сводится к решению \( x — 1 \leq 0 \), что даёт \( x \leq 1 \).

Ответ: Множество значений \(x\), для которых предикат \( A(x) \) истинно, это интервал \( (-\infty; 1] \).

б) \( A(x): \frac{x^3 + 3x — 4}{x^2 + 3x — 4} \geq 0; \)

Рассмотрим неравенство:

\( \frac{x^3 + 3x — 4}{x^2 + 3x — 4} \geq 0 \)

1. Преобразуем числитель и знаменатель. Найдем корни числителя и знаменателя.

Числитель \( x^3 + 3x — 4 = 0 \) имеет корни \( x = 1 \) и \( x = -4 \), так как:

\( x^3 + 3x — 4 = (x — 1)(x^2 + x + 4) \)

Знаменатель \( x^2 + 3x — 4 = 0 \) имеет корни \( x = 1 \) и \( x = -4 \), так как:

\( x^2 + 3x — 4 = (x — 1)(x + 4) \)

2. Теперь рассмотрим знаки дроби \( \frac{(x — 1)(x^2 + x + 4)}{(x — 1)(x + 4)} \). Мы видим, что выражение имеет неопределённость при \( x = 1 \) и \( x = -4 \), так как в этих точках знаменатель или числитель обращаются в ноль.

3. Мы исключаем \( x = 1 \) и \( x = -4 \) из области определения. Далее исследуем знак выражения в интервалах \( (-\infty, -4) \), \( (-4, 1) \), и \( (1, +\infty) \).

Для \( x \in (-\infty, -4) \), выражение будет положительным, так как оба множителя числителя и знаменателя имеют одинаковые знаки. Аналогично для \( x \in (1, +\infty) \). Между точками \( -4 \) и \( 1 \) выражение будет отрицательным.

Ответ: Множество значений \(x\), для которых предикат \( A(x) \) истинно, это объединение интервалов \( (-\infty, -4) \cup (1, +\infty) \).

Предикат \( \overline{A(x)} \):

a) \( \overline{A(x)}: x^3 + x — 2 > 0; \)

Разложим неравенство:

\( x^3 + x — 2 > 0 \)

Подобное неравенство будет истинно, если \( x > 1 \), поскольку кубическая функция растёт при \(x > 1\). Следовательно, решение для \( \overline{A(x)} \) будет \( (1; +\infty) \).

b) \( \overline{A(x)}: \frac{x^3 + 3x — 4}{x^2 + 3x — 4} < 0; \)

Неравенство \( \frac{x^3 + 3x — 4}{x^2 + 3x — 4} < 0 \) будет выполняться, когда знак дроби будет отрицательным. Мы исследовали знаки дроби и пришли к выводу, что решение будет для \(x \in (-4, 1)\), так как дробь имеет отрицательный знак в этом интервале.

Ответ: Для предиката \( \overline{A(x)} \) на координатной прямой будут значения: a) \( (1; +\infty) \), b) \( (-4, 1) \).