ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1213 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значения переменной, при которых верно высказывание:

a) \[\exists x \, \big((\sqrt{x+1})^2 \cdot \sqrt{(x-2)^2} \geq 0\big);\]

б) \[\exists x \, \bigg(x + \frac{1}{x-2} \geq \frac{1}{x-2} + 1\bigg).\]

Высказывание истинно:

a) \[\exists x \, \big((\sqrt{x + 1})^2 \cdot \sqrt{(x — 2)^2} \geq 0\big);\]
\((\sqrt{x + 1})^2 \geq 0, \, x + 1 \geq 0, \, x \geq -1;\)

Ответ: \([-1; +\infty).\)

б) \[\exists x \, \bigg(\frac{x + 1}{x — 2} \geq \frac{1}{x — 2} + 1\bigg);\]
\(x \neq 2, \, x \geq 1;\)

Ответ: \([1; 2) \cup (2; +\infty).\)

Задана задача: Определите значения переменной \(x\), для которых высказывание истинно. Рассмотрим два случая:

a) \( \exists x \, \big((\sqrt{x + 1})^2 \cdot \sqrt{(x — 2)^2} \geq 0 \big); \)

Рассмотрим выражение:

\( (\sqrt{x + 1})^2 \cdot \sqrt{(x — 2)^2} \geq 0 \)

1. В первой части выражения, \( (\sqrt{x + 1})^2 \), мы получаем \( x + 1 \), так как квадратный корень и квадрат взаимно уничтожают друг друга. Таким образом:

\( (\sqrt{x + 1})^2 = x + 1 \)

2. Во второй части выражения, \( \sqrt{(x — 2)^2} \), мы получаем \( |x — 2| \), так как квадратный корень из квадрата числа даёт его абсолютное значение. Таким образом:

\( \sqrt{(x — 2)^2} = |x — 2| \)

3. Мы получаем следующее неравенство:

\( (x + 1) \cdot |x — 2| \geq 0 \)

4. Это выражение будет выполняться, если обе части произведения будут либо положительными, либо обе отрицательными. Рассмотрим два условия:

• \( x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1 \),
• \( |x — 2| \geq 0 \), это всегда верно для всех \(x\), так как абсолютное значение всегда неотрицательно.

Таким образом, неравенство выполняется для всех \(x \geq -1\).

Ответ: Множество значений \(x\), при которых высказывание истинно, это интервал \( [-1; +\infty) \).

b) \( \exists x \, \bigg(\frac{x + 1}{x — 2} \geq \frac{1}{x — 2} + 1 \bigg); \)

Рассмотрим неравенство:

\( \frac{x + 1}{x — 2} \geq \frac{1}{x — 2} + 1 \)

1. Переносим все члены в одну сторону:

\( \frac{x + 1}{x — 2} — \frac{1}{x — 2} \geq 1 \)

2. Приводим дроби к общему знаменателю:

\( \frac{x + 1 — 1}{x — 2} \geq 1 \)

\( \frac{x}{x — 2} \geq 1 \)

3. Умножаем обе стороны на \(x — 2\), но нужно учитывать, что знак неравенства может измениться в зависимости от того, больше ли \(x — 2\) нуля или меньше. Для этого необходимо исследовать два случая:

• • Если \(x — 2 > 0 \) (то есть \( x > 2 \)), неравенство остается тем же:

\( x \geq x — 2 \), что всегда верно.

• • Если \(x — 2 < 0 \) (то есть \( x < 2 \)), знак неравенства меняется, и мы получаем:

\( x \leq x — 2 \), что всегда ложно.

Таким образом, неравенство выполняется только для \( x \geq 1 \), исключая точку \(x = 2\), так как в этой точке дробь не определена.

Ответ: Множество значений \(x\), при которых высказывание истинно, это объединение интервалов \( [1; 2) \cup (2; +\infty) \).