ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1210 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каком значении переменной \( a \) предикат \( ax^2 + 4x + 4 \geq 0 \) будет тождественно истинным?

Задан предикат:

\( ax^2 + 4x + 4 \geq 0; \)

\( D = 4^2 — 4 \cdot a \cdot 4; \)

\( D = 16 — 16a; \)

\( D = 16(1 — a); \)

Является тождеством:

\( a > 0, \, 1 — a \leq 0, \, a \geq 1; \)

Ответ: \( a \in [1; +\infty). \)

Задача: При каком значении переменной \( a \) предикат \( ax^2 + 4x + 4 \geq 0 \) будет тождественно истинным?

Рассмотрим предикат:

\( ax^2 + 4x + 4 \geq 0 \)

Это неравенство является квадратным относительно переменной \( x \), и чтобы оно было тождественно истинным (для всех значений \( x \)), необходимо, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был неотрицательным, то есть не приводил к комплексным корням.

Представим это как квадратное уравнение \( ax^2 + 4x + 4 = 0 \) и найдем дискриминант данного уравнения:

Для квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \) дискриминант вычисляется по формуле:

\( D = b^2 — 4ac \),

где \( a = a \), \( b = 4 \), \( c = 4 \).

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

\( D = 4^2 — 4 \cdot a \cdot 4 \)

\( D = 16 — 16a \)

Чтобы неравенство было тождественно истинным для всех значений \( x \), необходимо, чтобы дискриминант был неотрицательным:

\( D \geq 0 \)

Подставим выражение для дискриминанта:

\( 16 — 16a \geq 0 \)

Решим неравенство:

\( 16 \geq 16a \)

\( 1 \geq a \)

Таким образом, условие для того, чтобы неравенство было тождественно истинным, следующее: \( a \geq 1 \).

Ответ: \( a \in [1; +\infty) \). Это означает, что при всех значениях \( a \geq 1 \) неравенство \( ax^2 + 4x + 4 \geq 0 \) будет тождественно истинным.