ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1208 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = |x(x + 1)| — 5x \) и найдите, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Построить график функции:

\( y = |x(x + 1)| — 5x, \, y = m; \)

1) Если \( x \geq 0 \), тогда:

\( y = x(x + 1) — 5x; \)

\( y = x^2 + x — 5x; \)

\( y = x^2 — 4x; \)

\( x_0 = \frac{-4}{2 \cdot 1} = 2; \)

\( y_0 = 4 — 8 = -4; \)

2) Если \( x < 0 \), тогда:

\( y = -x(x + 1) — 5x; \)

\( y = -x^2 — x — 5x; \)

\( y = -x^2 — 6x; \)

\( x_0 = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = -3; \)

\( y_0 = -9 + 18 = 9; \)

3) График функции:

4) Есть две точки:

\( m = -4; \, m = 9. \)

Задача: Построить график функции \( y = |x(x + 1)| — 5x \) и найти, при каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком ровно две общие точки.

Шаг 1: Разделим функцию на два случая в зависимости от значения \( x \), так как функция содержит абсолютную величину:

Если \( x \geq 0 \):

В этом случае \( |x(x + 1)| = x(x + 1) \), и функция примет вид:

\( y = x(x + 1) — 5x \)

Раскроем скобки и упростим:

\( y = x^2 + x — 5x \)

\( y = x^2 — 4x \)

Найдем координаты вершины параболы \( y = x^2 — 4x \). Для этого используем формулу для абсциссы вершины параболы \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \( a = 1 \), \( b = -4 \):

Шаг 2: \( x_0 = \frac{-(-4)}{2 \cdot 1} = 2 \)

Теперь находим ординату вершины:

Шаг 3: \( y_0 = (2)^2 — 4(2) = 4 — 8 = -4 \)

Таким образом, для \( x \geq 0 \) вершина параболы находится в точке \( (2, -4) \).

Если \( x < 0 \):

В этом случае \( |x(x + 1)| = -x(x + 1) \), и функция примет вид:

\( y = -x(x + 1) — 5x \)

Раскроем скобки и упростим:

\( y = -x^2 — x — 5x \)

\( y = -x^2 — 6x \)

Найдем координаты вершины параболы \( y = -x^2 — 6x \). Для этого используем формулу для абсциссы вершины параболы \( x_0 = \frac{-b}{2a} \), где \( a = -1 \), \( b = -6 \):

Шаг 4: \( x_0 = \frac{-(-6)}{2 \cdot (-1)} = -3 \)

Теперь находим ординату вершины:

Шаг 5: \( y_0 = (-3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9 \)

Таким образом, для \( x < 0 \) вершина параболы находится в точке \( (-3, 9) \).

Шаг 6: Построение графика функции:

График функции состоит из двух частей: для \( x \geq 0 \) парабола \( y = x^2 — 4x \), а для \( x < 0 \) — парабола \( y = -x^2 — 6x \). Эти две части соединяются в точке \( x = 0 \), где значение функции будет:

\( y(0) = 0^2 — 4(0) = 0 \)

Шаг 7: Найдем значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции в двух точках. Мы ищем значения \( m \), при которых существует ровно два решения для уравнения \( y = m \).

Решения для прямой \( y = m \) могут быть в точках, где \( m = -4 \) (при \( x \geq 0 \)) и \( m = 9 \) (при \( x < 0 \)). Эти значения \( m \) соответствуют вершинам парабол, так как для этих значений существует ровно два пересечения с графиком.

Ответ: Прямая \( y = m \) имеет с графиком функции ровно две общие точки, если \( m = -4 \) или \( m = 9 \).