ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1201 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Вычислите дисперсию случайной величины \( X \) по её распределению:

а)

б)

в)

а) Таблица распределения:

Математическое ожидание:

\( E(X) = -2 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2; \)

\( E(X) = -0.6 + 0 + 0.6 = 0; \)

Дисперсия значений:

\( D(X) = 0.3(-2 — 0)^2 + 0.5(0 — 0)^2 + 0.2(3 — 0)^2; \)

\( D(X) = 0.3 \cdot 2^2 + 0.5 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot 3^2 = 1.2 + 1.8 = 3 \)

Ответ: 3.

б) Таблица распределения:

Математическое ожидание:

\( E(X) = -1 \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.2; \)

\( E(X) = -0.3 + 0.5 + 0.8 = 1; \)

Дисперсия значений:

\( D(X) = 0.3(-1 — 1)^2 + 0.5(1 — 1)^2 + 0.2(4 — 1)^2; \)

\( D(X) = 0.3 \cdot 2^2 + 0.5 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot 3^2 = 1.2 + 1.8 = 3 \)

Ответ: 3.

в) Таблица распределения:

Математическое ожидание:

\( E(X) = -4 \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.5 + 6 \cdot 0.2; \)

\( E(X) = -1.2 + 0 + 1.2 = 0; \)

Дисперсия значений:

\( D(X) = 0.3(-4 — 0)^2 + 0.5(0 — 0)^2 + 0.2(6 — 0)^2; \)

\( D(X) = 0.3 \cdot 4^2 + 0.5 \cdot 0^2 + 0.2 \cdot 6^2 = 4.8 + 7.2 = 12; \)

Ответ: 12.

Задача: Вычислите дисперсию случайной величины \( X \) по её распределению:

а)

Шаг 1: Математическое ожидание для случайной величины \( X \) вычисляется по формуле:

\( E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i) \),

где:

• \( x_i \) — это значения случайной величины \( X \),
• \( P(X = x_i) \) — это соответствующие вероятности этих значений.

Мы подставляем значения из таблицы:

\( E(X) = (-2) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.5 + 3 \cdot 0.2 \)

Шаг 2: Рассчитаем каждое произведение:

• \( (-2) \cdot 0.3 = -0.6 \)
• \( 0 \cdot 0.5 = 0 \)
• \( 3 \cdot 0.2 = 0.6 \)

Теперь сложим полученные результаты:

\( E(X) = -0.6 + 0 + 0.6 = 0 \)

Шаг 3: Теперь вычислим дисперсию \( D(X) \). Для дискретной случайной величины дисперсия вычисляется по формуле:

\( D(X) = \sum_{i} P(X = x_i) \cdot (x_i — E(X))^2 \),

где:

• \( P(X = x_i) \) — вероятность того, что случайная величина примет значение \( x_i \),
• \( x_i — E(X) \) — отклонение каждого значения от математического ожидания \( E(X) \),
• \( (x_i — E(X))^2 \) — квадрат этого отклонения.

Подставляем значения \( E(X) = 0 \) и считаем отклонение от математического ожидания для каждого \( x_i \), а затем возводим это отклонение в квадрат:

\( D(X) = 0.3 \cdot (-2 — 0)^2 + 0.5 \cdot (0 — 0)^2 + 0.2 \cdot (3 — 0)^2 \)

Шаг 4: Рассчитаем отклонения и их квадраты:

• Для \( x_1 = -2 \): \( (-2 — 0)^2 = 4 \), и \( 0.3 \cdot 4 = 1.2 \)
• Для \( x_2 = 0 \): \( (0 — 0)^2 = 0 \), и \( 0.5 \cdot 0 = 0 \)
• Для \( x_3 = 3 \): \( (3 — 0)^2 = 9 \), и \( 0.2 \cdot 9 = 1.8 \)

Шаг 5: Теперь сложим все результаты:

\( D(X) = 1.2 + 0 + 1.8 = 3 \)

Ответ: Дисперсия случайной величины \( X \) равна \( D(X) = 3 \).

б)

Шаг 1: Математическое ожидание для случайной величины \( X \):

\( E(X) = (-1) \cdot 0.3 + 1 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.2 \)

Шаг 2: Рассчитаем произведения:

• \( (-1) \cdot 0.3 = -0.3 \)
• \( 1 \cdot 0.5 = 0.5 \)
• \( 4 \cdot 0.2 = 0.8 \)

Теперь сложим эти результаты:

\( E(X) = -0.3 + 0.5 + 0.8 = 1 \)

Шаг 3: Теперь вычислим дисперсию \( D(X) \). Подставляем \( E(X) = 1 \) в формулу для дисперсии:

\( D(X) = 0.3 \cdot (-1 — 1)^2 + 0.5 \cdot (1 — 1)^2 + 0.2 \cdot (4 — 1)^2 \)

Шаг 4: Рассчитаем отклонения и их квадраты:

• Для \( x_1 = -1 \): \( (-1 — 1)^2 = (-2)^2 = 4 \), и \( 0.3 \cdot 4 = 1.2 \)
• Для \( x_2 = 1 \): \( (1 — 1)^2 = 0 \), и \( 0.5 \cdot 0 = 0 \)
• Для \( x_3 = 4 \): \( (4 — 1)^2 = 3^2 = 9 \), и \( 0.2 \cdot 9 = 1.8 \)

Шаг 5: Сложим все результаты:

\( D(X) = 1.2 + 0 + 1.8 = 3 \)

Ответ: Дисперсия случайной величины \( X \) равна \( D(X) = 3 \).

в)

Шаг 1: Математическое ожидание для этой случайной величины:

\( E(X) = (-4) \cdot 0.3 + 0 \cdot 0.5 + 6 \cdot 0.2 \)

Шаг 2: Рассчитаем произведения:

• \( (-4) \cdot 0.3 = -1.2 \)
• \( 0 \cdot 0.5 = 0 \)
• \( 6 \cdot 0.2 = 1.2 \)

Теперь сложим эти результаты:

\( E(X) = -1.2 + 0 + 1.2 = 0 \)

Шаг 3: Теперь вычислим дисперсию \( D(X) \). Подставляем \( E(X) = 0 \) в формулу для дисперсии:

\( D(X) = 0.3 \cdot (-4 — 0)^2 + 0.5 \cdot (0 — 0)^2 + 0.2 \cdot (6 — 0)^2 \)

Шаг 4: Рассчитаем отклонения и их квадраты:

• Для \( x_1 = -4 \): \( (-4)^2 = 16 \), и \( 0.3 \cdot 16 = 4.8 \)
• Для \( x_2 = 0 \): \( (0)^2 = 0 \), и \( 0.5 \cdot 0 = 0 \)
• Для \( x_3 = 6 \): \( (6)^2 = 36 \), и \( 0.2 \cdot 36 = 7.2 \)

Шаг 5: Сложим все результаты:

\( D(X) = 4.8 + 0 + 7.2 = 12 \)

Ответ: Дисперсия случайной величины \( X \) равна \( D(X) = 12 \).