ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1195 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите область определения функции и постройте её график:

а) \( y = (1 — x^2)^{\frac{1}{2}}; \)

б) \( y = -(1 — x^2)^{\frac{1}{2}}. \)

Построить график функции:

а) \( y = (1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \);

Область определения:

\( 1 — x^2 \geq 0; \)

\( (x + 1)(x — 1) \leq 0; \)

\( -1 \leq x \leq 1; \)

Дано уравнение:

\( y^2 = 1 — x^2, \, y \geq 0; \)

\( x^2 + y^2 = 1; \)

\( x_0 = y_0 = 0, \, R = 1; \)

График функции:

Ответ: \( D(x) = [-1; 1]. \)

б) \( y = -(1 — x^2)^{\frac{1}{2}}; \)

Область определения:

\( 1 — x^2 \geq 0; \)

\( (x + 1)(x — 1) \leq 0; \)

\( -1 \leq x \leq 1; \)

Дано уравнение:

\( y^2 = 1 — x^2, \, y \leq 0; \)

\( x^2 + y^2 = 1; \)

\( x_0 = y_0 = 0, \, R = 1; \)

График функции:

Ответ: \( D(x) = [-1; 1]. \)

Задача: Найдите область определения функции и постройте её график:

а) \( y = (1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \):

Шаг 1: Область определения функции:

Функция \( y = (1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \) определена только тогда, когда выражение под корнем не отрицательно, то есть \( 1 — x^2 \geq 0 \). Решим это неравенство:

\( 1 — x^2 \geq 0 \)

\( x^2 \leq 1 \)

\( -1 \leq x \leq 1 \)

Таким образом, область определения функции — это интервал \( [-1; 1] \).

Шаг 2: Уравнение для функции:

Рассмотрим уравнение функции, которое мы можем записать в виде:

\( y^2 = 1 — x^2 \)

Это уравнение представляет собой уравнение круга радиусом 1 с центром в точке \( (0, 0) \). Однако, так как мы извлекаем квадратный корень, существует дополнительное ограничение, что \( y \geq 0 \). Таким образом, мы рассматриваем только верхнюю полуокружность.

Шаг 3: Построение графика:

График функции будет верхней половиной круга радиусом 1, расположенного на интервале \( [-1; 1] \). Это полукруг, который ограничен осью \( x \) сверху.

Ответ: Область определения: \( D(x) = [-1; 1] \).
График функции — это верхняя половина круга с центром в начале координат и радиусом 1.

б) \( y = -(1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \):

Шаг 1: Область определения функции:

Как и в предыдущем случае, функция \( y = -(1 — x^2)^{\frac{1}{2}} \) определена только тогда, когда выражение под корнем не отрицательно, то есть \( 1 — x^2 \geq 0 \). Решим это неравенство:

\( 1 — x^2 \geq 0 \)

\( x^2 \leq 1 \)

\( -1 \leq x \leq 1 \)

Таким образом, область определения функции также составляет интервал \( [-1; 1] \).

Шаг 2: Уравнение для функции:

Аналогично предыдущему случаю, у нас есть уравнение:

\( y^2 = 1 — x^2 \)

Это также уравнение круга радиусом 1 с центром в точке \( (0, 0) \), но в этом случае мы рассматриваем нижнюю полуокружность, так как перед квадратным корнем стоит минус. Это условие накладывает ограничение на \( y \), требуя, чтобы \( y \leq 0 \).

Шаг 3: Построение графика:

График функции будет нижней половиной круга радиусом 1, расположенного на интервале \( [-1; 1] \). Это полукруг, который ограничен осью \( x \) снизу.

Ответ: Область определения: \( D(x) = [-1; 1] \).
График функции — это нижняя половина круга с центром в начале координат и радиусом 1.