ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1194 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

распределения вероятностей. Найдите сумму всех вероятностей.

Для серии из шести испытаний Бернулли с вероятностью успеха \( p = 0.3 \) постройте диаграммы распределения случайных величин «число успехов» и «число неудач».

В испытаниях Бернулли:

\( p = 0.3, \ q = 0.7, \ n = 6; \)

1) Вероятности числа успехов:

\( P_6(0) = C_6^0 p^0 q^6 = \frac{6!}{6! \cdot 0!} \cdot 0.7^6 = 0.117649; \)

\( P_6(1) = C_6^1 p q^5 = \frac{6!}{5! \cdot 1!} \cdot 0.3 \cdot 0.7^5 = 0.302526; \)

\( P_6(2) = C_6^2 p^2 q^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^4 = 0.324135; \)

\( P_6(3) = C_6^3 p^3 q^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^3 = 0.18522; \)

\( P_6(4) = C_6^4 p^4 q^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \cdot 0.3^4 \cdot 0.7^2 = 0.059535; \)

\( P_6(5) = C_6^5 p^5 q = \frac{6!}{1! \cdot 5!} \cdot 0.3^5 \cdot 0.7 = 0.010206; \)

\( P_6(6) = C_6^6 p^6 = \frac{6!}{0! \cdot 6!} \cdot 0.3^6 = 0.000729; \)

2) Диаграмма числа успехов:

3) Диаграмма числа неудач:

Задача: Для серии из шести испытаний Бернулли с вероятностью успеха \( p = 0.3 \), постройте диаграммы распределения случайных величин «число успехов» и «число неудач».

Дано:

В испытаниях Бернулли:

Вероятность успеха \( p = 0.3 \), вероятность неудачи \( q = 1 — p = 0.7 \), количество испытаний \( n = 6 \).

Шаг 1: Вероятности числа успехов:

Для того чтобы найти вероятность каждого возможного числа успехов, мы используем формулу биномиального распределения, которая описывает вероятность получения \( k \) успехов из \( n \) испытаний:

\( P_6(k) = C_6^k \cdot p^k \cdot q^{6-k} \), где:

\(C_6^k\) — это число сочетаний, которое вычисляется по формуле \( C_6^k = \frac{6!}{k!(6-k)!} \),

\( p^k \) — это вероятность успеха в \( k \)-м испытании,

\( q^{6-k} \) — это вероятность неудачи в оставшихся \( 6-k \) испытаниях.

Вычислим вероятность для каждого числа успехов от 0 до 6:

Для \( P_6(0) \) (0 успехов):

\( P_6(0) = C_6^0 \cdot p^0 \cdot q^6 = \frac{6!}{6! \cdot 0!} \cdot 0.3^0 \cdot 0.7^6 = 0.117649 \)

Для \( P_6(1) \) (1 успех):

\( P_6(1) = C_6^1 \cdot p^1 \cdot q^5 = \frac{6!}{5! \cdot 1!} \cdot 0.3^1 \cdot 0.7^5 = 0.302526 \)

Для \( P_6(2) \) (2 успеха):

\( P_6(2) = C_6^2 \cdot p^2 \cdot q^4 = \frac{6!}{4! \cdot 2!} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^4 = 0.324135 \)

Для \( P_6(3) \) (3 успеха):

\( P_6(3) = C_6^3 \cdot p^3 \cdot q^3 = \frac{6!}{3! \cdot 3!} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7^3 = 0.18522 \)

Для \( P_6(4) \) (4 успеха):

\( P_6(4) = C_6^4 \cdot p^4 \cdot q^2 = \frac{6!}{2! \cdot 4!} \cdot 0.3^4 \cdot 0.7^2 = 0.059535 \)

Для \( P_6(5) \) (5 успехов):

\( P_6(5) = C_6^5 \cdot p^5 \cdot q^1 = \frac{6!}{1! \cdot 5!} \cdot 0.3^5 \cdot 0.7 = 0.010206 \)

Для \( P_6(6) \) (6 успехов):

\( P_6(6) = C_6^6 \cdot p^6 = \frac{6!}{0! \cdot 6!} \cdot 0.3^6 = 0.000729 \)

Шаг 2: Сумма всех вероятностей:

Мы должны убедиться, что сумма всех вероятностей равна 1. Для этого сложим все значения вероятностей:

\( S = P_6(0) + P_6(1) + P_6(2) + P_6(3) + P_6(4) + P_6(5) + P_6(6) \)

Подставляем все вероятности:

\( S = 0.117649 + 0.302526 + 0.324135 + 0.18522 +\)

\(0.059535 + 0.010206 + 0.000729 = 1 \)

Таким образом, сумма всех вероятностей действительно равна 1, что подтверждает правильность вычислений.

Шаг 3: Построим диаграммы распределения вероятностей:

Диаграмма числа успехов: Эта диаграмма отображает распределение вероятностей для числа успехов в 6 испытаниях. На оси X будут представлены возможные числа успехов, а на оси Y — вероятности соответствующих событий.

Диаграмма числа неудач: Диаграмма числа неудач будет аналогична диаграмме для успехов, но для числа неудач, которое вычисляется как \( 6 — k \), где \(k\) — число успехов. Для каждого числа успехов \(k\) будет соответствующее количество неудач \(6 — k\).
Здесь также будет показано распределение вероятностей для числа неудач в тех же 6 испытаниях.

На диаграммах будет видно, как меняется вероятность в зависимости от количества успехов и неудач в серии испытаний с вероятностью успеха \(p = 0.3\).