ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1192 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом выбирается точка. Обозначим её координату через \(x\). Найдите вероятность того, что:

• а) \(x^2 < 0.16\);
• б) \(x^2 \geq 0.25\);
• в) \(x^2 — 1 < -0.64\);
• г) \(x^3 \geq 0.027\);
• д) \(\begin{cases} 0.5x^2 \leq 0.08, \\ 2x^2 \geq 0.02; \end{cases}\)
• е) \(\begin{cases} x^2 \leq 0.01, \\ x \geq 0.5; \end{cases}\)
• ж) \((x + 1)^2 > 2.25\);
• з) \((x — 2)^2 \leq 1\).

Вероятность того, что точка \(x\) из отрезка \([0; 1]\) удовлетворяет:

а) \(x^2 < 0.16\);

\(x^2 — 0.16 < 0;\)

\((x + 0.4)(x — 0.4) < 0;\)

\(-0.4 < x < 0.4;\)

\(P(A) = \frac{0.4 — 0}{1 — 0} = 0.4;\)

Ответ: \(0.4\).

б) \(x^2 \geq 0.25\);

\(x^2 — 0.25 \geq 0;\)

\((x + 0.5)(x — 0.5) \geq 0;\)

\(x \leq -0.5, \ x \geq 0.5;\)

\(P(A) = \frac{1 — 0.5}{1 — 0} = 0.5;\)

Ответ: \(0.5\).

в) \(x^2 — 1 < -0.64\);

\(x^2 — 0.36 < 0;\)

\((x + 0.6)(x — 0.6) < 0;\)

\(-0.6 \leq x < 0.6;\)

\(P(A) = \frac{0.6 — 0}{1 — 0} = 0.6;\)

Ответ: \(0.6\).

г) \(x^3 \geq 0.027\);

\(x^3 — 0.027 \geq 0;\)

\(x — 0.3 \geq 0, \ x \geq 0.3;\)

\(P(A) = \frac{1 — 0.3}{1 — 0} = 0.7;\)

Ответ: \(0.7\).

д) \(\begin{cases} 0.5x^2 \leq 0.08, \\ 2x^2 \geq 0.02; \end{cases}\)

Первое неравенство:

\(x^2 \leq 0.16;\)

\(x^2 — 0.16 \leq 0;\)

\((x + 0.4)(x — 0.4) \leq 0;\)

\(-0.4 \leq x \leq 0.4;\)

Второе неравенство:

\(x^2 \geq 0.01;\)

\(x^2 — 0.01 \geq 0;\)

\((x + 0.1)(x — 0.1) \geq 0;\)

\(x \leq -0.1, \ x \geq 0.1;\)

\(P(A) = \frac{0.4 — 0.1}{1 — 0} = 0.3;\)

Ответ: \(0.3\).

e) \(\begin{cases} x^2 \leq 0.01, \\ x \geq 0.5; \end{cases}\)

\(x^2 — 0.01 \leq 0;\)

\((x + 0.1)(x — 0.1) \leq 0;\)

\(-0.1 \leq x \leq 0.1;\)

\(P(A) = \frac{0.1 + 0.5}{1 — 0} = 0.6;\)

Ответ: \(0.6\).

ж) \((x + 1)^2 > 2.25\);

\((x + 1)^2 — 2.25 > 0;\)

\((x + 1 + 1.5)(x + 1 — 1.5) > 0;\)

\((x + 2.5)(x — 0.5) > 0;\)

\(x < -2.5, \ x > 0.5;\)

\(P(A) = \frac{1 — 0.5}{1 — 0} = 0.5;\)

Ответ: \(0.5\).

з) \((x — 2)^2 \leq 1\);

\((x — 2)^2 — 1 \leq 0;\)

\((x — 2 + 1)(x — 2 — 1) \leq 0;\)

\((x — 1)(x — 3) \leq 0;\)

\(1 \leq x \leq 3;\)

Ответ: \(0\).

Задача: Из отрезка \([0; 1]\) случайным образом выбирается точка. Обозначим её координату через \(x\). Найдите вероятность того, что:

а) \(x^2 < 0.16\):

Для решения этого неравенства, перепишем его как \(x^2 — 0.16 < 0\), что можно выразить в виде:

\((x + 0.4)(x — 0.4) < 0\)

Решением этого неравенства будет интервал \(-0.4 < x < 0.4\), так как это квадратное неравенство имеет корни \(x = -0.4\) и \(x = 0.4\).

Однако так как точка \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\), нас интересует только та часть интервала, которая пересекается с этим отрезком. Таким образом, интересующий нас интервал будет \([0; 0.4]\).

Шаг 1: Для вычисления вероятности находим длину этого интервала. Длина отрезка \([0; 0.4]\) равна \(0.4 — 0 = 0.4\).

Шаг 2: Поскольку отрезок \([0; 1]\) имеет длину 1, вероятность того, что точка \(x\) попадет в интервал \([0; 0.4]\), вычисляется как отношение длины интересующего интервала к длине всего отрезка:

\( P(A) = \frac{0.4 — 0}{1 — 0} = 0.4 \)

Ответ: \(0.4\)

б) \(x^2 \geq 0.25\):

Неравенство \(x^2 \geq 0.25\) можно переписать как \(x^2 — 0.25 \geq 0\). Это квадратное неравенство можно разложить как:

\((x + 0.5)(x — 0.5) \geq 0\)

Решением этого неравенства будут два интервала: \(x \leq -0.5\) и \(x \geq 0.5\). Однако, поскольку \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\), нас интересует только часть интервала \(x \geq 0.5\).

Шаг 1: Мы получаем, что \(x\) должно быть в интервале \([0.5; 1]\).

Шаг 2: Рассчитаем длину этого интервала: \(1 — 0.5 = 0.5\).

Шаг 3: Поскольку длина всего отрезка \([0; 1]\) равна 1, вероятность того, что точка \(x\) попадет в этот интервал, равна:

\( P(A) = \frac{1 — 0.5}{1 — 0} = 0.5 \)

Ответ: \(0.5\)

в) \(x^2 — 1 < -0.64\):

Перепишем неравенство \(x^2 — 1 < -0.64\) как \(x^2 — 0.36 < 0\). Разложим это выражение:

\((x + 0.6)(x — 0.6) < 0\)

Решением этого неравенства будет интервал \(-0.6 \leq x < 0.6\), однако точка \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\), и нас интересует пересечение этого интервала с отрезком \([0; 1]\), то есть интервал \([0; 0.6]\).

Шаг 1: Рассчитаем длину этого интервала: \(0.6 — 0 = 0.6\).

Шаг 2: Вероятность того, что точка \(x\) попадет в этот интервал, равна:

\( P(A) = \frac{0.6 — 0}{1 — 0} = 0.6 \)

Ответ: \(0.6\)

г) \(x^3 \geq 0.027\):

Неравенство \(x^3 \geq 0.027\) можно переписать как \(x \geq 0.3\), так как \(x^3 — 0.027 = 0\) имеет корень \(x = 0.3\). Таким образом, нас интересует интервал \(x \geq 0.3\).

Шаг 1: Интервал, удовлетворяющий неравенству, будет \([0.3; 1]\).

Шаг 2: Рассчитаем длину этого интервала: \(1 — 0.3 = 0.7\).

Шаг 3: Вероятность того, что точка \(x\) попадет в этот интервал, равна:

\( P(A) = \frac{1 — 0.3}{1 — 0} = 0.7 \)

Ответ: \(0.7\)

д) \(\begin{cases} 0.5x^2 \leq 0.08, \\ 2x^2 \geq 0.02; \end{cases}\)

Первое неравенство: \(0.5x^2 \leq 0.08\), или \(x^2 \leq 0.16\), что даёт интервал \([-0.4 \leq x \leq 0.4]\), но нас интересует только интервал \([0; 0.4]\).
Второе неравенство: \(2x^2 \geq 0.02\), или \(x^2 \geq 0.01\), что даёт интервал \([0.1; 1]\).

Шаг 1: Пересекаем два интервала: \([0; 0.4]\) и \([0.1; 1]\), получаем интервал \([0.1; 0.4]\).

Шаг 2: Рассчитаем длину этого интервала: \(0.4 — 0.1 = 0.3\).

Шаг 3: Вероятность того, что точка \(x\) попадет в этот интервал, равна:

\( P(A) = \frac{0.4 — 0.1}{1 — 0} = 0.3 \)

Ответ: \(0.3\)

е) \(\begin{cases} x^2 \leq 0.01, \\ x \geq 0.5; \end{cases}\)

Первое неравенство: \(x^2 \leq 0.01\), даёт интервал \([-0.1 \leq x \leq 0.1]\), но нас интересует только часть интервала \([0; 0.1]\).
Второе неравенство: \(x \geq 0.5\), даёт интервал \([0.5; 1]\).

Шаг 1: Пересекаем два интервала: \([0; 0.1]\) и \([0.5; 1]\), получаем два интервала: \([0; 0.1]\) и \([0.5; 1]\).

Шаг 2: Рассчитаем длину каждого интервала: \(0.1 + 0.5 = 0.6\).

Шаг 3: Вероятность того, что точка \(x\) попадет в эти интервала, равна:

\( P(A) = \frac{0.1 + 0.5}{1 — 0} = 0.6 \)

Ответ: \(0.6\)

ж) \((x + 1)^2 > 2.25\):

Неравенство \((x + 1)^2 — 2.25 > 0\) разлагается как \((x + 2.5)(x — 0.5) > 0\).
Решением этого неравенства будут интервалы \(x < -2.5\) и \(x > 0.5\), но так как точка \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\), интересует только интервал \([0.5; 1]\).

Шаг 1: Рассчитаем длину интервала \([0.5; 1]\): \(1 — 0.5 = 0.5\).

Шаг 2: Вероятность того, что точка \(x\) попадет в этот интервал, равна:

\( P(A) = \frac{1 — 0.5}{1 — 0} = 0.5 \)

Ответ: \(0.5\)

з) \((x — 2)^2 \leq 1\):

Неравенство \((x — 2)^2 — 1 \leq 0\) разлагается как \((x — 1)(x — 3) \leq 0\), что даёт интервал \([1; 3]\).
Поскольку точка \(x\) выбирается из отрезка \([0; 1]\), результатом будет интервал \([1; 1]\), что не содержит точек.

Шаг 1: Вероятность равна 0.

Ответ: \(0\)