ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1189 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В испытании Бернулли успех наступает с вероятностью \( p = 0.3 \). Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний:

• а) наступило более двух успехов;
• б) наступило не более двух неудач;
• в) не все испытания окончились неудачей.

В испытании Бернулли:

\( p = 0.3, \ q = 0.7, \ n = 4; \)

а) Наступило более двух успехов:

\( P = P_4(3) + P_4(4) = C_4^3 p^3 q + C_4^4 p^4; \)

\( P = \frac{4!}{1! \cdot 3!} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7 + \frac{4!}{4! \cdot 0!} \cdot 0.3^4; \)

\( P = 4 \cdot 0.027 \cdot 0.7 + 0.0081 = 0.0837; \)

Ответ: \( 0.0837 \).

б) Наступило не более двух неудач:

\( P = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4) = C_4^2 p^2 q^2 + C_4^3 p^3 q + C_4^4 p^4; \)

\( P = \frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^2 + \frac{4!}{1! \cdot 3!} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7 + \frac{4!}{4! \cdot 0!} \cdot 0.3^4; \)

\( P = 6 \cdot 0.09 \cdot 0.49 + 4 \cdot 0.027 \cdot 0.7 + 0.0081 = 0.3483; \)

Ответ: \( 0.3483 \).

в) Не все испытания окончились неудачей:

\( P = 1 — P_4(0) = 1 — q^4 = 1 — 0.7^4 = 0.7599; \)

Ответ: \( 0.7599 \).

Задача: В испытании Бернулли успех наступает с вероятностью \( p = 0.3 \). Найдите вероятность того, что в серии из 4 таких испытаний:

Обозначим:

В каждом испытании вероятность успеха равна \( p = 0.3 \), а вероятность неудачи \( q = 1 — p = 0.7 \). Мы имеем серию из 4 испытаний, то есть \( n = 4 \).

Формула: Для вычисления вероятности в испытаниях Бернулли мы используем формулу для числа сочетаний \( C_n^k \) и вероятность успеха \( p \) или неудачи \( q \). Суммарная вероятность для \( k \) успехов в \( n \) испытаниях равна:

\( P = C_n^k p^k q^{n-k} \)

а) Наступило более двух успехов:

Нужно найти вероятность того, что в 4 испытаниях будет более двух успехов. Это означает, что нужно вычислить вероятность для 3 и 4 успехов:

Шаг 1: Вероятность для 3 успехов:

\( P_4(3) = C_4^3 p^3 q = \frac{4!}{1! \cdot 3!} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7 = 4 \cdot 0.027 \cdot 0.7 = 0.0756 \)

Шаг 2: Вероятность для 4 успехов:

\( P_4(4) = C_4^4 p^4 = \frac{4!}{4! \cdot 0!} \cdot 0.3^4 = 1 \cdot 0.0081 = 0.0081 \)

Шаг 3: Суммируем вероятности для 3 и 4 успехов:

\( P = P_4(3) + P_4(4) = 0.0756 + 0.0081 = 0.0837 \)

Ответ: Вероятность того, что наступит более двух успехов, равна \( 0.0837 \).

б) Наступило не более двух неудач:

Не более двух неудач — это значит, что неудач может быть 0, 1 или 2. Нам нужно вычислить вероятность для 2, 3 и 4 успехов (поскольку количество успехов и неудач в сумме всегда равно 4):

Шаг 1: Вероятность для 2 успехов:

\( P_4(2) = C_4^2 p^2 q^2 = \frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot 0.3^2 \cdot 0.7^2 = 6 \cdot 0.09 \cdot 0.49 = 6 \cdot 0.0441 = 0.2646 \)

Шаг 2: Вероятность для 3 успехов:

\( P_4(3) = C_4^3 p^3 q = \frac{4!}{1! \cdot 3!} \cdot 0.3^3 \cdot 0.7 = 4 \cdot 0.027 \cdot 0.7 = 0.0756 \)

Шаг 3: Вероятность для 4 успехов:

\( P_4(4) = C_4^4 p^4 = \frac{4!}{4! \cdot 0!} \cdot 0.3^4 = 1 \cdot 0.0081 = 0.0081 \)

Шаг 4: Суммируем вероятности для 2, 3 и 4 успехов:

\( P = P_4(2) + P_4(3) + P_4(4) = 0.2646 + 0.0756 + 0.0081 = 0.3483 \)

Ответ: Вероятность того, что наступит не более двух неудач, равна \( 0.3483 \).

в) Не все испытания окончились неудачей:

Если не все испытания окончились неудачей, это значит, что хотя бы одно испытание завершилось успехом. Мы можем найти эту вероятность, вычтя вероятность того, что все испытания закончились неудачей, из 1:

Шаг 1: Вероятность того, что все испытания закончились неудачей (0 успехов):

\( P_4(0) = C_4^0 p^0 q^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.7^4 = 0.7^4 = 0.2401 \)

Шаг 2: Вычитаем эту вероятность из 1:

\( P = 1 — P_4(0) = 1 — 0.2401 = 0.7599 \)

Ответ: Вероятность того, что не все испытания окончились неудачей, равна \( 0.7599 \).