ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1188 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько элементарных событий благоприятствует появлению 3 орлов, если монету бросают:

• а) 3 раза;
• б) 4 раза;
• в) 5 раз;
• г) 8 раз?

Найдите вероятность появления 3 орлов в соответствующих сериях бросков.

Число событий, благоприятствующих появлению трех орлов, если монету:

\( p = \frac{1}{2}, \ q = 1 — p = 1 — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}; \)

а) Бросают три раза:

\( C_3^3 = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = \frac{3!}{3!} = 1; \)

\( P(A) = C_3^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}; \)

Ответ: \( 1; \frac{1}{8} \)

б) Бросают четыре раза:

\( C_4^3 = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4; \)

\( P(A) = C_4^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{4}; \)

Ответ: \( 4; \frac{1}{4} \)

в) Бросают пять раз:

\( C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10; \)

\( P(A) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{5}{16}; \)

Ответ: \( 10; \frac{5}{16} \)

г) Бросают восемь раз:

\( C_8^3 = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} = 56; \)

\( P(A) = C_8^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = \frac{7}{32}; \)

Ответ: \( 56; \frac{7}{32} \)

Задача: Сколько элементарных событий благоприятствует появлению 3 орлов, если монету бросают:

Обозначим: Мы имеем серию бросков монеты, где вероятность выпадения орла в каждом броске равна \( p = \frac{1}{2} \), а вероятность выпадения решки — \( q = 1 — p = \frac{1}{2} \). Мы должны найти количество элементарных событий, благоприятствующих появлению трех орлов, а также вычислить вероятность этого события в разных случаях.

Формула: Количество элементарных событий, благоприятствующих \( k \) успехам (в нашем случае — орлам) в \( n \) испытаниях (бросках), рассчитывается с помощью формулы сочетаний:

\( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)

а) Бросают три раза:

Нам нужно найти количество элементарных событий, благоприятствующих трем орлам, если монету бросают три раза. Подставляем в формулу \( n = 3 \) и \( k = 3 \):

Шаг 1: Рассчитываем сочетания для трех орлов:

\( C_3^3 = \frac{3!}{3! \cdot 0!} = \frac{3!}{3!} = 1 \)

Шаг 2: Находим вероятность появления трех орлов:

\( P(A) = C_3^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 1 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \)

Ответ: \( 1 \); вероятность появления трех орлов — \( \frac{1}{8} \)

б) Бросают четыре раза:

Нам нужно найти количество элементарных событий, благоприятствующих трем орлам, если монету бросают четыре раза. Подставляем в формулу \( n = 4 \) и \( k = 3 \):

Шаг 1: Рассчитываем сочетания для трех орлов:

\( C_4^3 = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = \frac{4 \cdot 3!}{3!} = 4 \)

Шаг 2: Находим вероятность появления трех орлов:

\( P(A) = C_4^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 = 4 \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4} \)

Ответ: \( 4 \); вероятность появления трех орлов — \( \frac{1}{4} \)

в) Бросают пять раз:

Нам нужно найти количество элементарных событий, благоприятствующих трем орлам, если монету бросают пять раз. Подставляем в формулу \( n = 5 \) и \( k = 3 \):

Шаг 1: Рассчитываем сочетания для трех орлов:

\( C_5^3 = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10 \)

Шаг 2: Находим вероятность появления трех орлов:

\( P(A) = C_5^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{5}{16} \)

Ответ: \( 10 \); вероятность появления трех орлов — \( \frac{5}{16} \)

г) Бросают восемь раз:

Нам нужно найти количество элементарных событий, благоприятствующих трем орлам, если монету бросают восемь раз. Подставляем в формулу \( n = 8 \) и \( k = 3 \):

Шаг 1: Рассчитываем сочетания для трех орлов:

\( C_8^3 = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2} = 56 \)

Шаг 2: Находим вероятность появления трех орлов:

\( P(A) = C_8^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^8 = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{7}{32} \)

Ответ: \( 56 \); вероятность появления трех орлов — \( \frac{7}{32} \)