ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1180 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Найдите числа, составляющие арифметическую прогрессию.

В арифметической прогрессии:
\( a_1 = 1, \ a_2 = 1 + d, \ a_3 = 1 + 2d; \)

1) В геометрической прогрессии:
\( b_1 = 1, \ b_2 = d + 4, \ b_3 = (1 + 2d)^2; \)
\( (d + 4)^2 = 1 \cdot (1 + 2d)^2; \)
\( d + 4 = 1 + 2d, \ d = 3; \)

2) Искомые члены:
\( a_2 = 1 + 3 = 4; \)
\( a_3 = 1 + 6 = 7; \)
Ответ: 1; 4; 7.

Задача: Три целых числа составляют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 1. Если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Нужно найти числа, составляющие арифметическую прогрессию.

Шаг 1: Пусть три числа составляют арифметическую прогрессию. Обозначим эти числа как \( a_1, a_2, a_3 \), где:

• \( a_1 = 1 \) — первый член арифметической прогрессии,
• \( a_2 = 1 + d \) — второй член арифметической прогрессии, где \( d \) — разность прогрессии,
• \( a_3 = 1 + 2d \) — третий член арифметической прогрессии.

Шаг 2: Теперь рассмотрим условие, что если ко второму члену прибавить 3, а третий возвести в квадрат, то получится геометрическая прогрессия. Обозначим числа, составляющие геометрическую прогрессию, как \( b_1, b_2, b_3 \), где:

• \( b_1 = 1 \) — первый член геометрической прогрессии (это будет \( a_1 \), так как оно совпадает),
• \( b_2 = d + 4 \) — второй член геометрической прогрессии (ко второму члену арифметической прогрессии прибавили 3),
• \( b_3 = (1 + 2d)^2 \) — третий член геометрической прогрессии (третий член арифметической прогрессии возводится в квадрат).

Шаг 3: Для того чтобы числа образовывали геометрическую прогрессию, отношение соседних членов должно быть одинаковым. То есть, \( \frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2} \). Подставим значения для \( b_1, b_2, b_3 \):

\( \frac{d + 4}{1} = \frac{(1 + 2d)^2}{d + 4} \).

Шаг 4: Умножим обе части на \( d + 4 \), чтобы избавиться от дробей:

\( (d + 4)^2 = (1 + 2d)^2 \).

Шаг 5: Теперь раскроем квадратные скобки:

\( d^2 + 8d + 16 = 1 + 4d + 4d^2 \).

Шаг 6: Переносим все члены на одну сторону:

\( d^2 + 8d + 16 — 1 — 4d — 4d^2 = 0 \),

\( -3d^2 + 4d + 15 = 0 \).

Шаг 7: Решим полученное квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):

\( d = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4ac}}{2a} \), где \( a = -3 \), \( b = 4 \), и \( c = 15 \).

Подставляем значения:

\( d = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 — 4(-3)(15)}}{2(-3)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 180}}{-6} = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{-6} = \frac{-4 \pm 14}{-6} \).

Шаг 8: Находим два возможных значения для \( d \):

• \( d = \frac{-4 + 14}{-6} = \frac{10}{-6} = -\frac{5}{3} \),
• \( d = \frac{-4 — 14}{-6} = \frac{-18}{-6} = 3 \).

Шаг 9: Теперь находим члены арифметической прогрессии для обоих значений \( d \):

• Если \( d = 3 \), то:
  • \( a_1 = 1 \),
  • \( a_2 = 1 + 3 = 4 \),
  • \( a_3 = 1 + 6 = 7 \).

Ответ: Числа, составляющие арифметическую прогрессию, это 1, 4 и 7.