ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1170 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Имеет ли предел последовательность \((x_n)\), если \( x_n = \frac{(-1)^n n^2}{n + 1} \)?

Имеет ли предел:
\( x_n = \frac{(-1)^n \cdot n}{n + 1}; \)

1) Если \( n \) — четное число:
\( \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = \frac{1}{1 + 0} = 1; \)

2) Если \( n \) — нечетное число:
\( \lim_{n \to \infty} x_n = \lim_{n \to \infty} \frac{-n}{n + 1} = \frac{-1}{1 + 0} = -1; \)

Ответ: нет.

Задача: Имеет ли предел последовательность \( (x_n) \), если \( x_n = \frac{(-1)^n n^2}{n + 1} \)?

Шаг 1: Рассмотрим выражение для \( x_n \):

\( x_n = \frac{(-1)^n n^2}{n + 1} \).

Мы видим, что \( (-1)^n \) меняет знак в зависимости от чётности \( n \). Для чётных значений \( n \) знак будет положительным, а для нечётных — отрицательным. Это влияет на поведение последовательности.

Шаг 2: Рассмотрим пределы последовательности для чётных и нечётных значений \( n \).

Для чётных значений \( n \):

Когда \( n \) чётное, \( (-1)^n = 1 \), и последовательность примет вид:

\( x_n = \frac{n^2}{n + 1} \).

Рассмотрим предел этой последовательности, когда \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{1 + \frac{1}{n}} = 1 \), так как \( \frac{1}{n} \to 0 \) при \( n \to \infty \).

Для нечётных значений \( n \):

Когда \( n \) нечётное, \( (-1)^n = -1 \), и последовательность примет вид:

\( x_n = \frac{-n^2}{n + 1} \).

Рассмотрим предел этой последовательности, когда \( n \to \infty \):

\( \lim_{n \to \infty} \frac{-n^2}{n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{-n}{1 + \frac{1}{n}} = -1 \), так как \( \frac{1}{n} \to 0 \) при \( n \to \infty \).

Шаг 3: Мы видим, что предел последовательности зависит от чётности \( n \). Когда \( n \) чётное, предел равен 1, а когда \( n \) нечётное — предел равен -1. Поскольку пределы для чётных и нечётных значений \( n \) разные, последовательность не имеет предела.

Ответ: Предел последовательности не существует, так как она не сходится к одному значению.