ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1168 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции \( y = \frac{|x| — 2}{|x| + 2}. \)

Построить график функции:
\( y = \frac{|x| — 2}{|x| + 2}; \)

1) Функция является четной:
\( y(-x) = \frac{|-x| — 2}{|-x| + 2} = \frac{|x| — 2}{|x| + 2} = y(x); \)

2) Если \( x \geq 0 \), тогда:
\( y = \frac{x — 2}{x + 2} = 1 — \frac{4}{x + 2}; \)
\( x_0 = -2, \ y_0 = 1; \)

3) График данной функции:

[График функции]

Задача: Построить график функции \( y = \frac{|x| — 2}{|x| + 2} \).

Шаг 1: Функция является чётной, поскольку:

\( y(-x) = \frac{|-x| — 2}{|-x| + 2} = \frac{|x| — 2}{|x| + 2} = y(x) \).

Это означает, что график функции симметричен относительно оси \( y \), и мы можем строить его, анализируя только положительные значения \( x \), а затем просто отразить его на левой части оси \( x \).

Шаг 2: Рассмотрим, что происходит, когда \( x \geq 0 \). Для этих значений функции \( |x| = x \), и функция принимает вид:

\( y = \frac{x — 2}{x + 2} = 1 — \frac{4}{x + 2} \).

Мы видим, что функция имеет асимптоты и особенности. Например, если \( x \to \infty \), то \( y \to 1 \), а при \( x = -2 \) выражение становится неопределённым, что даёт вертикальную асимптоту в точке \( x = -2 \).

Шаг 3: Рассмотрим поведение функции в окрестности важных точек:

• При \( x = 0 \): \( y = \frac{0 — 2}{0 + 2} = -1 \),
• При \( x \to \infty \): \( y \to 1 \),
• При \( x = -2 \) — вертикальная асимптота.

Шаг 4: Строим график функции для \( x \geq 0 \) с учётом асимптот и особенностей.

График функции:

Шаг 5: Используем симметрию графика, чтобы отобразить его для \( x < 0 \). График будет симметричен относительно оси \( y \), так как функция чётная.

Итак, построив график для положительных значений \( x \) и отразив его для отрицательных значений, мы получаем полный график функции \( y = \frac{|x| — 2}{|x| + 2} \).