ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1159 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите систему уравнений
\[
\begin{cases}
3x^2 — y^2 = 7y, \\
2x^2 + 3y^2 = 5xy.
\end{cases}
\]

Решить систему уравнений:
\[
3x^2 — y^2 = 7y;
2x^2 + 3y^2 = 5xy;
\]

1) Второе уравнение:
\( 2x^2 + 3y^2 — 5xy = 0; \)
\( 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 — 5\left(\frac{x}{y}\right) + 3 = 0; \)
\( D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1, \text{тогда:} \)
\( \frac{x}{y_1} = \frac{5 — 1}{2 \cdot 2} = 1 \) и \( \frac{x}{y_2} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2}; \)
\( y_1 = x \) и \( y_2 = \frac{2x}{3}; \)

2) Первое значение:
\( 3x^2 — x^2 = 7x; \)
\( 2x^2 — 7x = 0; \)
\( x(2x — 7) = 0; \)
\( x_1 = 0, \ x_2 = 3.5; \)
\( y_1 = 0, \ y_2 = 3.5; \)

3) Второе значение:
\( 3x^2 — \frac{4x^2}{9} = \frac{14x}{3}; \)
\( 27x^2 — 4x^2 = 42x; \)
\( 23x^2 — 42x = 0; \)
\( x(23x — 42) = 0; \)
\( x_1 = 0, \ x_2 = \frac{42}{23}; \)
\( y_1 = 0, \ y_2 = \frac{28}{23}; \)

Ответ: \( (0; 0); (3.5; 3.5); \left(\frac{42}{23}; \frac{28}{23}\right). \)

Задача: Решите систему уравнений:

\[
\begin{cases}
3x^2 — y^2 = 7y, \\
2x^2 + 3y^2 = 5xy.
\end{cases}
\]

Шаг 1: Начнём с того, что преобразуем второе уравнение. Для этого выделим все термины в одну сторону:

\( 2x^2 + 3y^2 — 5xy = 0 \)

Далее, введём замену переменной \( t = \frac{x}{y} \), то есть \( x = t \cdot y \). Подставим это в уравнение:

\( 2\left(\frac{x}{y}\right)^2 + 3 — 5\left(\frac{x}{y}\right) = 0; \)

Получаем квадратное уравнение относительно \( t \):

\( 2t^2 — 5t + 3 = 0 \)

Шаг 2: Решим это квадратное уравнение. Найдём дискриминант \( D \):

\( D = (-5)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 — 24 = 1 \)

Теперь найдём корни уравнения:

\( t_1 = \frac{5 — 1}{2 \cdot 2} = 1 \quad \text{и} \quad t_2 = \frac{5 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2} \)

Таким образом, \( t_1 = 1 \) и \( t_2 = \frac{3}{2} \). Отсюда получаем, что:

\( y_1 = x \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2x}{3} \).

Шаг 3: Рассмотрим первое значение \( y_1 = x \). Подставим это в первое уравнение системы:

\( 3x^2 — x^2 = 7x \)

Упростим выражение:

\( 2x^2 — 7x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( x \):

\( x(2x — 7) = 0 \)

Отсюда получаем два возможных значения для \( x \):

• \( x_1 = 0 \),
• \( x_2 = \frac{7}{2} = 3.5 \).

Следовательно, для \( y_1 = x \) мы получаем два значения: \( y_1 = 0 \) и \( y_2 = 3.5 \).

Шаг 4: Рассмотрим второе значение \( y_2 = \frac{2x}{3} \). Подставим это во второе уравнение системы:

\( 3x^2 — \frac{4x^2}{9} = \frac{14x}{3} \)

Умножим обе части на 9 для устранения дробей:

\( 27x^2 — 4x^2 = 42x \)

Упростим выражение:

\( 23x^2 — 42x = 0 \)

Вынесем общий множитель \( x \):

\( x(23x — 42) = 0 \)

Отсюда получаем два возможных значения для \( x \):

• \( x_1 = 0 \),
• \( x_2 = \frac{42}{23} \).

Теперь, подставив \( x_2 = \frac{42}{23} \) в \( y_2 = \frac{2x}{3} \), получаем:

\( y_2 = \frac{2 \cdot 42}{3 \cdot 23} = \frac{28}{23} \).

Ответ: Таким образом, решения системы уравнений:

• \( (0, 0) \),
• \( (3.5, 3.5) \),
• \( \left( \frac{42}{23}, \frac{28}{23} \right) \).