ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1157 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Является ли арифметической прогрессией последовательность, сумма первых \( n \) членов которой вычисляется по формуле:
а) \( S_n = 2n^2 — 5; \)
б) \( S_n = n^3 — 3n^2; \)
в) \( S_n = 1.5n^2 — n^3? \)

Может ли быть арифметической прогрессией последовательность:

а) \( S_n = 2n^2 — 5; \)
\( S_1 = 2 \cdot 1^2 — 5 = -3; \)
\( S_2 = 8 — 5 = 3; \)
\( S_3 = 18 — 5 = 13; \)
\( a_1 = S_1 = -3; \)
\( a_2 = S_2 — S_1 = 3 + 3 = 6; \)
\( a_3 = S_3 — S_2 = 13 — 3 = 10; \)
\( d = a_2 — a_1 = 10 — 6 = 4; \)
Ответ: нет.

б) \( S_n = n^3 — 3n^2; \)
\( S_1 = 1 — 3 = -2; \)
\( S_2 = 8 — 12 = -4; \)
\( S_3 = 27 — 27 = 0; \)
\( a_1 = S_1 = -2; \)
\( a_2 = S_2 — S_1 = -4 + 2 = -2; \)
\( a_3 = S_3 — S_2 = 0 — (-4) = 4; \)
\( d = a_2 — a_1 = -2 + 2 = 0; \)
\( d = a_3 — a_2 = 4 — (-2) = 6; \)
Ответ: нет.

в) \( S_n = 1.5n^2 — n^3; \)
\( S_1 = 1.5 — 1 = 0.5; \)
\( S_2 = 6 — 8 = -2; \)
\( S_3 = 13.5 — 27 = -13.5; \)
\( a_1 = S_1 = 0.5; \)
\( a_2 = S_2 — S_1 = -2 — 0.5 = -2.5; \)
\( a_3 = S_3 — S_2 = -13.5 + 2.5 = -11; \)
\( d = a_2 — a_1 = -2.5 — 0.5 = -3; \)
\( d = a_3 — a_2 = -11 + 2.5 = -8.5; \)
Ответ: нет.

Задача: Является ли арифметической прогрессией последовательность, сумма первых \( n \) членов которой вычисляется по формуле:

а) \( S_n = 2n^2 — 5 \);

Шаг 1: Найдём первые три суммы:

• \( S_1 = 2 \cdot 1^2 — 5 = -3 \),
• \( S_2 = 2 \cdot 2^2 — 5 = 3 \),
• \( S_3 = 2 \cdot 3^2 — 5 = 13 \).

Шаг 2: Найдём первые три члена последовательности, используя разницу сумм:

• \( a_1 = S_1 = -3 \),
• \( a_2 = S_2 — S_1 = 3 — (-3) = 6 \),
• \( a_3 = S_3 — S_2 = 13 — 3 = 10 \).

Шаг 3: Рассчитаем разность между соседними членами:

• \( d = a_2 — a_1 = 6 — (-3) = 9 \),
• \( d = a_3 — a_2 = 10 — 6 = 4 \).

Разности между членами последовательности различны, поэтому последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет.

б) \( S_n = n^3 — 3n^2 \);

Шаг 1: Найдём первые три суммы:

• \( S_1 = 1^3 — 3 \cdot 1^2 = -2 \),
• \( S_2 = 2^3 — 3 \cdot 2^2 = -4 \),
• \( S_3 = 3^3 — 3 \cdot 3^2 = 0 \).

Шаг 2: Найдём первые три члена последовательности, используя разницу сумм:

• \( a_1 = S_1 = -2 \),
• \( a_2 = S_2 — S_1 = -4 — (-2) = -2 \),
• \( a_3 = S_3 — S_2 = 0 — (-4) = 4 \).

Шаг 3: Рассчитаем разность между соседними членами:

• \( d = a_2 — a_1 = -2 — (-2) = 0 \),
• \( d = a_3 — a_2 = 4 — (-2) = 6 \).

Разности между членами последовательности различны, поэтому последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет.

в) \( S_n = 1.5n^2 — n^3 \);

Шаг 1: Найдём первые три суммы:

• \( S_1 = 1.5 \cdot 1^2 — 1^3 = 0.5 \),
• \( S_2 = 1.5 \cdot 2^2 — 2^3 = -2 \),
• \( S_3 = 1.5 \cdot 3^2 — 3^3 = -13.5 \).

Шаг 2: Найдём первые три члена последовательности, используя разницу сумм:

• \( a_1 = S_1 = 0.5 \),
• \( a_2 = S_2 — S_1 = -2 — 0.5 = -2.5 \),
• \( a_3 = S_3 — S_2 = -13.5 + 2.5 = -11 \).

Шаг 3: Рассчитаем разность между соседними членами:

• \( d = a_2 — a_1 = -2.5 — 0.5 = -3 \),
• \( d = a_3 — a_2 = -11 + 2.5 = -8.5 \).

Разности между членами последовательности различны, поэтому последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет.