ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1139 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что многочлен \( x^4 — 4x^3 — 6x^2 — 3x + 9 \) не имеет отрицательных корней.

Не имеет отрицательных корней:
\( x^4 — 4x^3 — 6x^2 — 3x + 9 = 0; \)
\( (x^4 — 6x^2 + 9) — (4x^3 + 3x) = 0; \)
\( (x^2 — 3)^2 — x(4x^2 + 3) = 0; \)

Если \( x < 0 \), тогда: \( (x^2 — 3)^2 \geq 0; \) \( 4x^2 + 3 > 0; \)
\( -x > 0; \)

Что и требовалось доказать.

Задача:

Докажите, что многочлен \( x^4 — 4x^3 — 6x^2 — 3x + 9 \) не имеет отрицательных корней.

Решение:

1. Рассмотрим многочлен:

\( P(x) = x^4 — 4x^3 — 6x^2 — 3x + 9 \);

2. Мы должны доказать, что этот многочлен не имеет отрицательных корней, то есть не существует таких значений \( x < 0 \), для которых \( P(x) = 0 \).

3. Разделим многочлен на две части, чтобы проще анализировать его поведение:

\( P(x) = (x^4 — 6x^2 + 9) — (4x^3 + 3x); \)

4. Первая часть \( x^4 — 6x^2 + 9 \) представляет собой выражение, которое можно записать как квадрат:

\( (x^2 — 3)^2; \)

5. Вторая часть \( 4x^3 + 3x \) является линейной функцией от \( x \), которая изменяется в зависимости от знака \( x \).

6. Теперь рассмотрим два выражения по отдельности при \( x < 0 \):

6.1. \( (x^2 — 3)^2 \geq 0 \), так как квадрат любого числа не может быть отрицательным;

6.2. \( 4x^2 + 3 > 0 \) всегда, так как \( x^2 \geq 0 \), а 3 — положительное число, значит, эта сумма всегда больше нуля;

6.3. \( -x > 0 \) при \( x < 0 \), так как отрицательное число умножается на минус, давая положительный результат;

7. Суммируя все эти условия, мы получаем, что левая часть выражения всегда положительна для \( x < 0 \), а правая часть (при \( x < 0 \)) также будет положительной, так как \( -x \) будет положительным.

8. Таким образом, не существует таких значений \( x < 0 \), при которых выражение \( P(x) = 0 \), так как обе части выражения не могут быть равны нулю одновременно.

Ответ: Многочлен \( x^4 — 4x^3 — 6x^2 — 3x + 9 \) не имеет отрицательных корней.