ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1136 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \( C_{n-1}^3 + C_n^3 = 30; \)
б) \( C_n^4 + 2C_{n-1}^4 + C_{n-1}^2 = 80; \)
в) \( 14C_{x-2}^4 = 15A_{x-3}^2; \)
г) \( 6C_{x-3}^4 = 11A_{x-1}^2. \)

Решите уравнение:

а) \( C_{n-1}^3 + C_n^3 = 30; \)

\( \frac{(n-1)!}{(n-4)! \cdot 3!} + \frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} = 30; \)

\( \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3 \cdot 2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2} = 30; \)

\( (n-1)(n-2)(n-3+n) = 30 \cdot 3 \cdot 2; \)

\( (n^2 — 2n + n + 2)(2n — 3) = 180; \)

\( (n^2 — 3n + 2)(2n — 3) = 180; \)

\( 2n^3 — 3n^2 — 6n^2 + 9n + 4n — 6 — 180 = 0; \)

\( 2n^3 — 9n^2 + 13n — 186 = 0; \)

\( (n-6)(2n^2 + 3n + 31) = 0; \)

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot 31 = -239 < 0; \)

\( D < 0, \text{значит } n — 6 = 0, \ n = 6; \)

Ответ: 6.

б) \( C_n^4 + 2C_{n-1}^4 + C_{n-1}^2 = 80; \)

\( \frac{n!}{(n-4)! \cdot 4!} + 2 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-5)! \cdot 4!} + \frac{(n-1)!}{(n-3)! \cdot 2!} = 80; \)

\( \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{2(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{(n-1)(n-2)}{2} = 80; \)

\( (n-1)(n-2)(n^2 — 3n + 2)(2n — 3) + 12 = 80 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2; \)

\( (n^2 — 2n + n + 2)(n^2 — 3n + 2n^2 — 8n — 6n + 24 + 12) = 1920; \)

\( (n^2 — 3n + 2)(3n^2 — 17n + 36) = 1920; \)

\( 3n^4 — 17n^3 + 36n^2 — 9n^3 + 51n^2 — 108n + 6n^2 — 34n + 72 — 1920 = 0; \)

\( 3n^4 — 26n^3 + 93n^2 — 142n — 1848 = 0; \)

\( (n-7)(3n^3 — 5n^2 + 58n + 264) = 0; \)

\( n — 7 = 0, \ n = 7; \)

Ответ: 7.

в) \( 14C_{x-2}^4 = 15A_{x-3}^2; \)

\( 14 \cdot \frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!} = 15 \cdot \frac{(x-3)!}{(x-5)!}; \)

\( 14 \cdot \frac{x(x-1)}{2} = 15 \cdot (x-3)(x-4); \)

\( 7(x^2 — x) = 15(x^2 — 7x + 12); \)

\( 7x^2 — 7x = 15x^2 — 105x + 180; \)

\( 8x^2 — 98x + 180 = 0; \)

\( 4x^2 — 49x + 90 = 0; \)

\( D = 49^2 — 4 \cdot 4 \cdot 90 = 2401 — 1440 = 961; \)

\( x_1 = \frac{49 — 31}{2 \cdot 4} = \frac{9}{4} = 2,25 \) и \( x_2 = \frac{49 + 31}{2 \cdot 4} = 10; \)

Ответ: 10.

г) \( 6C_{x-3}^4 = 11A_{x-1}^2; \)

\( 6 \cdot \frac{x!}{(x-3)! \cdot 3!} = 11 \cdot \frac{(x-1)!}{(x-3)!}; \)

\( 6 \cdot \frac{x(x-1)(x-2)}{3 \cdot 2} = 11 \cdot (x-1)(x-2); \)

\( x(x^2 — 3x + 2) = 11(x^2 — 3x + 2), \ x = 11; \)

Ответ: 11.

Задача:

Решите уравнения:

а) \( C_{n-1}^3 + C_n^3 = 30 \);

1. Подставим формулы для сочетаний:

\( \frac{(n-1)!}{(n-4)! \cdot 3!} + \frac{n!}{(n-3)! \cdot 3!} = 30; \)

2. Упростим выражение:

\( \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3 \cdot 2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3 \cdot 2} = 30; \)

3. Преобразуем выражение:

\( (n-1)(n-2)(n-3+n) = 30 \cdot 3 \cdot 2; \)

4. Получаем:

\( (n^2 — 2n + n + 2)(2n — 3) = 180; \)

5. Упрощаем и решаем уравнение:

\( (n^2 — 3n + 2)(2n — 3) = 180; \)

6. Раскрываем скобки:

\( 2n^3 — 9n^2 + 13n — 186 = 0; \)

7. Используем метод подбора или решение кубического уравнения:

\( (n — 6)(2n^2 + 3n + 31) = 0; \)

8. Решаем уравнение:

\( n = 6; \)

Ответ: 6.

б) \( C_n^4 + 2C_{n-1}^4 + C_{n-1}^2 = 80; \)

1. Подставим формулы для сочетаний:

\( \frac{n!}{(n-4)! \cdot 4!} + 2 \cdot \frac{(n-1)!}{(n-5)! \cdot 4!} + \frac{(n-1)!}{(n-3)! \cdot 2!} = 80; \)

2. Упростим выражения:

\( \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{2(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{4 \cdot 3 \cdot 2} + \frac{(n-1)(n-2)}{2} = 80; \)

3. Перепишем уравнение:

\( (n-1)(n-2)(n^2 — 3n + 2)(2n — 3) + 12 = 80 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2; \)

4. Раскроем скобки и упростим:

\( (n^2 — 2n + n + 2)(n^2 — 3n + 2n^2 — 8n — 6n + 24 + 12) = 1920; \)

5. Получаем результат:

\( 3n^4 — 26n^3 + 93n^2 — 142n — 1848 = 0; \)

6. Используем метод подбора:

\( n = 7; \)

Ответ: 7.

в) \( 14C_{x-2}^4 = 15A_{x-3}^2; \)

1. Подставим формулы для сочетаний и размещений:

\( 14 \cdot \frac{x!}{(x-2)! \cdot 2!} = 15 \cdot \frac{(x-3)!}{(x-5)!}; \)

2. Упростим выражения:

\( 14 \cdot \frac{x(x-1)}{2} = 15 \cdot (x-3)(x-4); \)

3. Упростим и решим уравнение:

\( 7(x^2 — x) = 15(x^2 — 7x + 12); \)

4. Получаем уравнение:

\( 8x^2 — 98x + 180 = 0; \)

5. Решаем квадратное уравнение:

\( x = 10; \)

Ответ: 10.

г) \( 6C_{x-3}^4 = 11A_{x-1}^2; \)

1. Подставим формулы для сочетаний и размещений:

\( 6 \cdot \frac{x!}{(x-3)! \cdot 3!} = 11 \cdot \frac{(x-1)!}{(x-3)!}; \)

2. Упростим выражение:

\( 6 \cdot \frac{x(x-1)(x-2)}{3 \cdot 2} = 11 \cdot (x-1)(x-2); \)

3. Упростим и решим уравнение:

\( x(x^2 — 3x + 2) = 11(x^2 — 3x + 2); \)

4. Получаем \( x = 11; \)

Ответ: 11.