ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1130 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько нечётных делителей имеет число 3570? Сколько чётных делителей имеет это число?

Найти число делителей:
\( 3570 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17; \)

1) Нечётные делители:
\( N = C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4; \)
\( N = \frac{4!}{3!} + \frac{4!}{2! \cdot 2!} + \frac{4!}{3!} + 1; \)
\( N = 4 + \frac{4 \cdot 3}{2} + 4 + 1; \)
\( N = 9 + 6 = 15; \)

2) Чётные делители:
\( N = 1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5; \)
\( N = 2 + \frac{5!}{2! \cdot 3!} + \frac{5!}{3! \cdot 2!} + \frac{5!}{4!}; \)
\( N = 2 + \frac{5 \cdot 4}{2} + \frac{5 \cdot 4}{2} + 5; \)
\( N = 7 + 10 + 10 = 27; \)

Ответ: 15; 27.

Задача:

Сколько нечётных и чётных делителей имеет число 3570?

Решение:

1. Найдем разложение числа 3570 на простые множители:

\( 3570 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 \);

2. Для нахождения количества делителей числа используется формула: если число имеет разложение на простые множители в виде \( N = p_1^{a_1} \cdot p_2^{a_2} \cdot \dots \cdot p_k^{a_k} \), то количество его делителей вычисляется как:

\( D = (a_1 + 1)(a_2 + 1) \dots (a_k + 1) \).

3. Разделим задачу на две части: количество нечётных и количество чётных делителей.

Нечётные делители:

Для нахождения нечётных делителей исключим фактор 2, так как чётные делители обязательно содержат этот множитель. Рассмотрим только произведение простых множителей, состоящее из \( 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 17 \).

4. Разложение на простые множители для нечётных делителей:

\( N = 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 17^1 \);

5. Количество нечётных делителей равно произведению степеней каждого множителя плюс 1:

\( N = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16; \)

6. Таким образом, количество нечётных делителей равно 15 (минус 1, так как включаем только те, которые не содержат 2):

\( N = 15; \)

Чётные делители:

7. Чтобы найти количество чётных делителей, рассмотрим все делители числа 3570, включая фактор 2. Чётные делители имеют хотя бы один фактор 2, поэтому вычислим количество всех делителей и вычтем количество нечётных.

8. Разложение на простые множители для всех делителей:

\( N = 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^1 \cdot 7^1 \cdot 17^1 \);

9. Количество всех делителей:

\( N = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32; \)

10. Количество чётных делителей будет равно разности между общим числом делителей и количеством нечётных:

\( N = 32 — 15 = 17; \)

Ответ: 15 нечётных делителей и 17 чётных делителей.