ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1124 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство:
а) \( \frac{3x^2 + 4x — 4}{x^2 + x + 1} < 1; \)

б) \( \frac{3x^2 + 2x — 1}{x^2 — x + 1} > 0. \)

Решить неравенство:

а) \( \frac{3x^2 + 4x — 4}{x^2 + x + 1} < 1; \)

\( 3x^2 + 4x — 4 < x^2 + x + 1; \)

\( 2x^2 + 3x — 5 < 0; \)

\( D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 + 40 = 49, \text{тогда:} \)

\( x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -2,5 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1; \)

\( (x + 2,5)(x — 1) < 0; \)

\( -2,5 < x < 1; \)

Ответ: \( (-2,5; 1). \)

б) \( \frac{3x^2 + 2x — 1}{x^2 — x + 1} > 0; \)

\( 3x^2 + 2x — 1 > 0; \)

\( D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{тогда:} \)

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -1 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}; \)

\( (x + 1)\left(x — \frac{1}{3}\right) > 0; \)

\( x < -1, \ x > \frac{1}{3}; \)

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right). \)

Задача:

Решите неравенство:

а) \( \frac{3x^2 + 4x — 4}{x^2 + x + 1} < 1; \)

Шаг 1: Переносим 1 на левую сторону:

\( \frac{3x^2 + 4x — 4}{x^2 + x + 1} — 1 < 0; \)

Шаг 2: Приводим к общему знаменателю:

\( \frac{3x^2 + 4x — 4 — (x^2 + x + 1)}{x^2 + x + 1} < 0; \)

Шаг 3: Упростим числитель:

\( 3x^2 + 4x — 4 — x^2 — x — 1 = 2x^2 + 3x — 5; \)

Теперь у нас неравенство:

\( \frac{2x^2 + 3x — 5}{x^2 + x + 1} < 0; \)

Шаг 4: Числитель \( 2x^2 + 3x — 5 \) решаем через дискриминант:

\( D = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49; \)

Корни числителя:

\( x_1 = \frac{-3 — 7}{2 \cdot 2} = -2,5 \) и \( x_2 = \frac{-3 + 7}{2 \cdot 2} = 1; \)

Шаг 5: Раскладываем числитель на множители:

\( (x + 2,5)(x — 1) < 0; \)

Шаг 6: Находим решение неравенства:

\( -2,5 < x < 1; \)

Ответ: \( (-2,5; 1). \)

б) \( \frac{3x^2 + 2x — 1}{x^2 — x + 1} > 0; \)

Шаг 1: Для числителя \( 3x^2 + 2x — 1 \) находим корни через дискриминант:

\( D = 2^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16; \)

Корни числителя:

\( x_1 = \frac{-2 — 4}{2 \cdot 3} = -1 \) и \( x_2 = \frac{-2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3}; \)

Шаг 2: Раскладываем числитель на множители:

\( (x + 1)\left(x — \frac{1}{3}\right) > 0; \)

Шаг 3: Находим решение неравенства для числителя:

\( x < -1, \ x > \frac{1}{3}; \)

Шаг 4: Поскольку знаменатель \( x^2 — x + 1 \) всегда положителен (дискриминант равен \( (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 — 4 = -3 \), что меньше 0), то знаки числителя определяют знак всего выражения.

Ответ: \( (-\infty; -1) \cup \left(\frac{1}{3}; +\infty\right). \)