ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1123 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:
а) \( \sqrt{3x} — \sqrt{2x} = 1; \)
б) \( x + \sqrt{x+1} = 11. \)

Решить уравнение:

а) \( \sqrt{3x} — \sqrt{2x} = 1; \)

\( \sqrt{3x} = \sqrt{2x} + 1; \)

\( 3x = 2x + 2\sqrt{2x} + 1; \)

\( x — 1 = 2\sqrt{2x}; \)

\( x^2 — 2x + 1 = 4 \cdot 2x; \)

\( x^2 — 10x + 1 = 0; \)

\( D = 10^2 — 4 \cdot 1 = 100 — 4 = 96, \text{тогда:} \)

\( x = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}; \)

Область определения:

\( x — 1 \geq 0, \ x \geq 1; \)

Ответ: \( 5 + 2\sqrt{6}. \)

б) \( x + \sqrt{x+1} = 11; \)

\( \sqrt{x+1} = 11 — x; \)

\( x + 1 = 121 — 22x + x^2; \)

\( x^2 — 23x + 120 = 0; \)

\( D = 23^2 — 4 \cdot 120 = 529 — 480 = 49, \text{тогда:} \)

\( x_1 = \frac{23 — 7}{2} = 8 \) и \( x_2 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15; \)

Область определения:

\( x + 1 \geq 0, \ x \geq -1; \)

\( 11 — x \geq 0, \ x \leq 11; \)

Ответ: 8.

Задача:

Решите уравнение:

а) \( \sqrt{3x} — \sqrt{2x} = 1; \)

Шаг 1: Переносим \( \sqrt{2x} \) на правую сторону уравнения:

\( \sqrt{3x} = \sqrt{2x} + 1; \)

Шаг 2: Возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

\( 3x = (\sqrt{2x} + 1)^2; \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

\( 3x = 2x + 2\sqrt{2x} + 1; \)

Шаг 4: Переносим все термины в одну сторону:

\( 3x — 2x — 1 = 2\sqrt{2x}; \)

\( x — 1 = 2\sqrt{2x}; \)

Шаг 5: Возводим обе части уравнения в квадрат:

\( (x — 1)^2 = 4 \cdot 2x; \)

\( x^2 — 2x + 1 = 8x; \)

Шаг 6: Переносим все термины в одну сторону:

\( x^2 — 10x + 1 = 0; \)

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта:

\( D = 10^2 — 4 \cdot 1 \cdot 1 = 100 — 4 = 96; \)

\( x = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}; \)

Шаг 8: Проверяем область определения:

\( x — 1 \geq 0, \ x \geq 1; \)

Ответ: \( 5 + 2\sqrt{6}. \)

б) \( x + \sqrt{x+1} = 11; \)

Шаг 1: Переносим \( x \) на правую сторону уравнения:

\( \sqrt{x + 1} = 11 — x; \)

Шаг 2: Возводим обе части уравнения в квадрат:

\( x + 1 = (11 — x)^2; \)

Шаг 3: Раскрываем скобки:

\( x + 1 = 121 — 22x + x^2; \)

Шаг 4: Переносим все термины в одну сторону:

\( x^2 — 23x + 120 = 0; \)

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение по формуле дискриминанта:

\( D = 23^2 — 4 \cdot 1 \cdot 120 = 529 — 480 = 49; \)

\( x_1 = \frac{23 — 7}{2} = 8 \) и \( x_2 = \frac{23 + 7}{2} = \frac{30}{2} = 15; \)

Шаг 6: Проверяем область определения:

\( x + 1 \geq 0, \ x \geq -1; \)

\( 11 — x \geq 0, \ x \leq 11; \)

Ответ: 8.