ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1121 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения \( \frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}} \), где \( m \in \mathbb{N} \), \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \leq m \).

Вычислить значение выражения:

\( \frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}} = \frac{\frac{(m-1)!}{(m-n)!} \cdot (m-n)!}{(m-1)!} = 1; \)

Ответ: 1.

Задача:

Найдите значение выражения \( \frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}} \), где \( m \in \mathbb{N} \), \( n \in \mathbb{N} \) и \( n \leq m \).

Решение:

1. Для начала вспомним формулы для размещений и перестановок:

• \( A_n^k = \frac{n!}{(n — k)!} \) — формула для размещений;
• \( P_n^k = \frac{n!}{(n — k)!} \) — формула для перестановок.

2. Подставим выражение для размещений \( A_{m-1}^{n-1} \) и перестановок \( P_{m-n} \) в исходное выражение. Мы имеем:

\( \frac{A_{m-1}^{n-1} \cdot P_{m-n}}{P_{m-1}} \)

3. Подставим формулы для размещений и перестановок:

\( A_{m-1}^{n-1} = \frac{(m-1)!}{(m-n)!} \),

\( P_{m-n} = \frac{(m-n)!}{0!} = (m-n)! \),

\( P_{m-1} = \frac{(m-1)!}{0!} = (m-1)! \).

4. Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

\( \frac{\frac{(m-1)!}{(m-n)!} \cdot (m-n)!}{(m-1)!} \)

5. Видим, что факториалы \( (m-1)! \) и \( (m-n)! \) сокращаются, и остается:

\( \frac{(m-1)!}{(m-1)!} = 1 \)

Ответ: 1.