ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1120 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение: а) \( A_{2n}^4 = 2A_n^2 \); б) \( A_n^4 = 12A_n^2 \).

Решить уравнение:

а) \( A_{2n}^3 = 20A_n^2; \)

\( \frac{(2n)!}{(2n-3)!} = 20 \cdot \frac{n!}{(n-2)!}; \)

\( 2n(2n-1)(2n-2) = 20n(n-1); \)

\( 4n^2 — 4n — 2n + 2 = 10n — 10; \)

\( 4n^2 — 16n + 12 = 0; \)

\( n^2 — 4n + 3 = 0; \)

\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4, \text{тогда:} \)

\( n_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \) и \( n_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3; \)

Ответ: 3.

б) \( A_n^4 = 12A_n^2; \)

\( \frac{n!}{(n-4)!} = 12 \cdot \frac{n!}{(n-2)!}; \)

\( \frac{12}{(n-2)(n-3)} = 1; \)

\( n^2 — 3n — 2n + 6 = 12; \)

\( n^2 — 5n — 6 = 0; \)

\( D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49, \text{тогда:} \)

\( n_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \) и \( n_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6; \)

Ответ: 6.

Задача:

Решите уравнение:

а) \( A_{2n}^4 = 2A_n^2 \);

Шаг 1: Рассмотрим формулу для размещений \( A_{2n}^4 \) и \( A_n^2 \). Мы знаем, что:

\( A_{2n}^4 = \frac{(2n)!}{(2n — 4)!} \) и \( A_n^2 = \frac{n!}{(n — 2)!} \).

Шаг 2: Подставим в уравнение:

\( \frac{(2n)!}{(2n — 4)!} = 2 \cdot \frac{n!}{(n — 2)!} \)

Шаг 3: Упростим выражение:

\( \frac{(2n)!}{(2n — 4)!} = 2 \cdot \frac{n!}{(n — 2)!} \)

\( (2n)(2n — 1)(2n — 2) = 2n(n — 1) \)

Шаг 4: Упростим далее:

\( 4n^2 — 4n — 2n + 2 = 10n — 10 \)

\( 4n^2 — 16n + 12 = 0 \)

Шаг 5: Преобразуем квадратное уравнение:

\( n^2 — 4n + 3 = 0 \)

Шаг 6: Решим квадратное уравнение:

\( D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4 \)

\( n_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \) и \( n_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3 \)

Ответ: 3.

б) \( A_n^4 = 12A_n^2 \);

Шаг 1: Рассмотрим аналогичное уравнение для размещений:

\( A_n^4 = \frac{n!}{(n — 4)!} \) и \( A_n^2 = \frac{n!}{(n — 2)!} \).

Шаг 2: Подставим в уравнение:

\( \frac{n!}{(n — 4)!} = 12 \cdot \frac{n!}{(n — 2)!} \)

Шаг 3: Упростим выражение:

\( \frac{12}{(n — 2)(n — 3)} = 1 \)

Шаг 4: Умножим обе части на \( (n — 2)(n — 3) \):

\( 12 = (n — 2)(n — 3) \)

Шаг 5: Раскроем скобки:

\( 12 = n^2 — 5n + 6 \)

Шаг 6: Переносим все в одну сторону:

\( n^2 — 5n — 6 = 0 \)

Шаг 7: Решим квадратное уравнение:

\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \)

\( n_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1 \) и \( n_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6 \)

Ответ: 6.