ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1119 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Сколько различных натуральных чисел, меньших 1000, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 без повторения цифр в числе?

Количество чисел, меньших 1000, которые можно составить из цифр:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;

\( N = A_7^1 + A_7^2 + A_7^3 = \frac{7!}{6!} + \frac{7!}{5!} + \frac{7!}{4!}; \)

\( N = 7 + 7 \cdot 6 + 7 \cdot 6 \cdot 5 = 259; \)

Ответ: 259.

Задача:

Сколько различных натуральных чисел, меньших 1000, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 без повторения цифр в числе?

Решение:

1. Нам нужно составить числа, меньшие 1000, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 без повторения цифр. Эти числа могут быть:

Однозначными (например, 1, 2, 3, …);

Двузначными (например, 12, 13, …);

Трехзначными (например, 123, 124, …).

2. Для однозначных чисел мы можем выбрать 1 цифру из 7 доступных. Количество таких чисел: \( A_7^1 = \frac{7!}{6!} = 7 \).

3. Для двузначных чисел мы выбираем 2 цифры из 7, и порядок имеет значение. Количество таких чисел: \( A_7^2 = \frac{7!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42 \).

4. Для трехзначных чисел мы выбираем 3 цифры из 7, и порядок также имеет значение. Количество таких чисел: \( A_7^3 = \frac{7!}{4!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210 \).

5. Сложим количество однозначных, двузначных и трехзначных чисел, чтобы получить общее количество чисел:

\( N = A_7^1 + A_7^2 + A_7^3 = 7 + 42 + 210 = 259 \).

Ответ: 259.