ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1110 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 — 6\sqrt{2}} \) — натуральное число.

Дано натуральное число:

\( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 — 6\sqrt{2}} = \)

\( = \sqrt{9 + 2 \cdot 3\sqrt{2} + 2} + \sqrt{9 — 2 \cdot 3\sqrt{2} + 2} = \)

\( = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} + \sqrt{(3 — \sqrt{2})^2} = \)

\( = |3 + \sqrt{2}| + |3 — \sqrt{2}| = \)

\( = 3 + \sqrt{2} + 3 — \sqrt{2} = 6; \)

Что и требовалось доказать.

Задача:

Докажите, что значение выражения \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 — 6\sqrt{2}} \) — натуральное число.

Решение:

1. Рассмотрим выражение: \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 — 6\sqrt{2}} \).

2. Попробуем упростить это выражение, раскрывая его через квадрат суммы и разности. Начнем с первого корня:

\( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 + \sqrt{2})^2} \)

3. Раскроем квадрат: \( (3 + \sqrt{2})^2 = 9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2} \), что совпадает с первым корнем.

4. То же самое можно сделать для второго корня:

\( \sqrt{11 — 6\sqrt{2}} = \sqrt{(3 — \sqrt{2})^2} \)

5. Раскроем квадрат: \( (3 — \sqrt{2})^2 = 9 — 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} + 2 = 11 — 6\sqrt{2} \), что совпадает со вторым корнем.

6. Теперь наше выражение принимает вид:

\( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 — 6\sqrt{2}} = |3 + \sqrt{2}| + |3 — \sqrt{2}| \)

7. Поскольку \( 3 + \sqrt{2} > 0 \) и \( 3 — \sqrt{2} > 0 \), можем отбросить абсолютные значения:

\( 3 + \sqrt{2} + 3 — \sqrt{2} = 6 \)

8. Таким образом, выражение \( \sqrt{11 + 6\sqrt{2}} + \sqrt{11 — 6\sqrt{2}} \) равно 6, что является натуральным числом.

Ответ: 6. Что и требовалось доказать.