ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1109 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите неравенство \( \sqrt{\frac{3x — 1}{2 — x}} < 1 \).

Решить неравенство:

\( \sqrt{\frac{3x — 1}{2 — x}} < 1; \)

\( \frac{3x — 1}{2 — x} < 1; \)

\( \frac{3x — 1 — 2 + x}{2 — x} < 0; \)

\( \frac{4x — 3}{x — 2} > 0; \)

\( x < \frac{3}{4}, \; x > 2 \)

Область определения:

\( \frac{3x — 1}{2 — x} \geq 0, \; \frac{3x — 1}{x — 2} \leq 0; \)

\( \frac{3\left(x — \frac{1}{3}\right)}{x — 2} \leq 0, \; \frac{1}{3} \leq x \leq 2; \)

Ответ: \( \left[\frac{1}{3}; \frac{3}{4}\right). \)

Задача:

Решите неравенство \( \sqrt{\frac{3x — 1}{2 — x}} < 1 \).

Решение:

1. Для начала избавимся от квадратного корня. Для этого возведем обе части неравенства в квадрат:

\( \left(\sqrt{\frac{3x — 1}{2 — x}}\right)^2 < 1^2 \)

\( \frac{3x — 1}{2 — x} < 1 \)

2. Переносим 1 на левую сторону и упрощаем:

\( \frac{3x — 1}{2 — x} — 1 < 0 \)

\( \frac{3x — 1 — (2 — x)}{2 — x} < 0 \)

\( \frac{3x — 1 — 2 + x}{2 — x} < 0 \)

\( \frac{4x — 3}{2 — x} < 0 \)

3. Умножим числитель и знаменатель на -1, при этом знак неравенства изменится:

\( \frac{4x — 3}{x — 2} > 0 \)

4. Решаем неравенство \( \frac{4x — 3}{x — 2} > 0 \). Это рациональное неравенство, и для его решения находим промежутки, где числитель и знаменатель имеют одинаковый знак:

— Числитель \( 4x — 3 = 0 \) при \( x = \frac{3}{4} \);

— Знаменатель \( x — 2 = 0 \) при \( x = 2 \).

5. Таким образом, исследуем знак выражения \( \frac{4x — 3}{x — 2} \) на интервалах: \( (-\infty; \frac{3}{4}) \), \( (\frac{3}{4}; 2) \), и \( (2; +\infty) \).

6. После проверки знаков на этих интервалах получаем, что выражение \( \frac{4x — 3}{x — 2} > 0 \) выполняется для \( x < \frac{3}{4} \) или \( x > 2 \).

7. Область определения функции \( \frac{3x — 1}{2 — x} \) также накладывает ограничения на \( x \). Для того чтобы выражение под корнем было неотрицательным, \( \frac{3x — 1}{2 — x} \geq 0 \). Рассмотрим знак этого выражения:

— Числитель \( 3x — 1 \geq 0 \) при \( x \geq \frac{1}{3} \);

— Знаменатель \( 2 — x \geq 0 \) при \( x \leq 2 \).

8. Таким образом, область определения \( \frac{3x — 1}{2 — x} \) — это интервал \( \left[\frac{1}{3}; 2\right] \).

9. Теперь объединяем два условия: неравенство \( \frac{4x — 3}{x — 2} > 0 \) и область определения функции. Совмещение этих условий даёт решение:

\( \left[\frac{1}{3}; \frac{3}{4}\right) \).

Ответ: \( \left[\frac{1}{3}; \frac{3}{4}\right) \).