ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1108 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( x^4 + ax^2 + a — 1 = 0 \) имеет только два корня?

Дано уравнение:

\( x^4 + ax^2 + a — 1 = 0; \)

\( D = a^2 — 4(a — 1); \)

\( D = a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2, \) тогда:

\( x_1^2 = \frac{-a — (a — 2)}{2} = \frac{-2a + 2}{2} = 1 — a; \)

\( x_2^2 = \frac{-a + (a — 2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1; \)

Имеет два корня:

\( 1 — a > 0, \; a < 1; \)

Ответ: \( (-\infty; 1). \)

Задача:

При каких значениях параметра \( a \) уравнение \( x^4 + ax^2 + a — 1 = 0 \) имеет только два корня?

Решение:

1. Рассмотрим уравнение \( x^4 + ax^2 + a — 1 = 0 \). Для того чтобы решить его, сделаем подстановку. Пусть \( y = x^2 \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 + ay + a — 1 = 0 \)

2. Это квадратное уравнение относительно \( y \), которое можно решить через дискриминант. Для этого найдем дискриминант \( D \) квадратного уравнения \( y^2 + ay + (a — 1) = 0 \):

\( D = a^2 — 4(a — 1) \)

3. Упростим дискриминант:

\( D = a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2 \)

4. Поскольку дискриминант \( D = (a — 2)^2 \) всегда неотрицателен, уравнение всегда имеет два корня (неважно, равные или разные). Однако нам нужно, чтобы у нас было только два корня, то есть один из корней должен быть кратным, а второй — единственным. Это возможно только в случае, если один из корней равен нулю, а второй — положительным числом. Это условие будет выполнено, если:

\( x_1^2 = \frac{-a — (a — 2)}{2} = \frac{-2a + 2}{2} = 1 — a \)

\( x_2^2 = \frac{-a + (a — 2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

5. Таким образом, для того чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы \( x_1^2 = 1 — a > 0 \), что означает, что \( a < 1 \).

Ответ: \( (-\infty; 1) \).