ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1105 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Число \( a = n! + 1 \), где \( n \in \mathbb{N} \), является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее значение \( a \), если:

а) \( a \) — двузначное число;

б) \( a \) — трёхзначное число.

Дан квадрат числа:

\( a = n! + 1, \; n \in \mathbb{N}; \)

а) Двузначное число:

\( n = 1, \; a = 1! + 1 = 2; \)

\( n = 2, \; a = 2! + 1 = 3; \)

\( n = 3, \; a = 3! + 1 = 7; \)

\( n = 4, \; a = 4! + 1 = 25; \)

Ответ: 25.

б) Трехзначное число:

\( n = 5, \; a = 5! + 1 = 121; \)

Ответ: 121.

Задача:

Число \( a = n! + 1 \), где \( n \in \mathbb{N} \), является квадратом натурального числа. Найдите наименьшее значение \( a \), если:

а) \( a \) — двузначное число;

1. Нам нужно найти наименьшее значение \( a = n! + 1 \), которое является квадратом числа и является двузначным. Для этого будем проверять значения \( n \), начиная с 1, и искать, когда \( a \) будет квадратом числа.

2. Рассмотрим различные значения \( n \):

— Если \( n = 1 \), то \( a = 1! + 1 = 1 + 1 = 2 \) — не квадрат числа.

— Если \( n = 2 \), то \( a = 2! + 1 = 2 + 1 = 3 \) — не квадрат числа.

— Если \( n = 3 \), то \( a = 3! + 1 = 6 + 1 = 7 \) — не квадрат числа.

— Если \( n = 4 \), то \( a = 4! + 1 = 24 + 1 = 25 \) — это квадрат числа \( 5^2 \).

3. Таким образом, наименьшее двузначное число \( a \), которое является квадратом, равно 25.

Ответ: 25.

б) \( a \) — трёхзначное число;

1. Теперь нам нужно найти наименьшее значение \( a = n! + 1 \), которое является квадратом числа и является трёхзначным. Продолжаем проверку значений \( n \), начиная с 5, так как для \( n = 4 \) мы уже нашли двузначное число.

2. Рассмотрим различные значения \( n \):

— Если \( n = 5 \), то \( a = 5! + 1 = 120 + 1 = 121 \) — это квадрат числа \( 11^2 \).

3. Таким образом, наименьшее трёхзначное число \( a \), которое является квадратом, равно 121.

Ответ: 121.