ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1088 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

При каких действительных значениях параметра \( a \) предикат является тождеством:

а) \( (x < a) \lor (x — 2 > 0) \);
б) \( ((x — 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — 2) > 0) \);
в) \( ((x — 1)(x — 2) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — a) > 0) \);
г) \( ((x — 2)(x — a) \geq 0) \rightarrow ((x — 3)(x — 1) \geq 0) \);
д) \( ((x — 2)(x — a) < 0) \rightarrow ((x — 2a)(x — 1) \leq 0) \).

е)\(((x — 2)(x — a) < 0) \rightarrow ((x — 2a)(x — 1) \leq 0)\)

Предикат является тождеством:

а) \( (x < a) \lor (x — 2 > 0) \);
\[
x — 2 > 0, \quad x > 2;
\]

Ответ: \( a > 2 \).

б) \( ((x — 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — 2) > 0) \);

\[
(x — 1)(x — 2) > 0, \quad x < 1, \quad x > 2;
\]

\[
(x — 1)(x — a) \leq 0, \quad 1 \leq x \leq a;
\]

Ответ: \( a \geq 2 \).

в) \( ((x — 1)(x — 2) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — a) > 0) \);
\[
(x — 1)(x — 2) \leq 0, \quad 1 \leq x \leq 2;
\]

\[
(x — 1)(x — a) > 0, \quad x < 1, \quad x > a;
\]

Ответ: \( 1 \leq a \leq 2 \).

г) \( ((x — 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x — a)(x — 2) > 0) \);
\[
(x — 1)(x — a) \leq 0, \quad 1 \leq x \leq a;
\]

\[
(x — a)(x — 2) > 0, \quad x < 2, \quad x > a;
\]

Ответ: \( a \geq 2 \).

д) \( ((x — 2)(x — a) \geq 0) \rightarrow ((x — 3)(x — 1) \geq 0) \);
\[
(x — 2)(x — a) < 0, \quad 2 < x < a;
\]

\[
(x — 3)(x — 1) \geq 0, \quad x \leq 1, \quad x \geq 3;
\]

Ответ: \( \emptyset \).

е) \( ((x — 2)(x — a) < 0) \rightarrow ((x — 2a)(x — 1) \leq 0) \);
\[
(x — 2)(x — a) > 0, \quad x < 2, \quad x > a;
\]

\[
(x — 2a)(x — 1) \leq 0, \quad 1 \leq x \leq 2a;
\]

Ответ: \( a \geq 1 \).

Задача: При каких действительных значениях параметра \( a \) предикат является тождеством:

• a) \( (x < a) \lor (x — 2 > 0) \);
• b) \( ((x — 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — 2) > 0) \);
• c) \( ((x — 1)(x — 2) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — a) > 0) \);
• d) \( ((x — 2)(x — a) \geq 0) \rightarrow ((x — 3)(x — 1) \geq 0) \);
• e) \( ((x — 2)(x — a) < 0) \rightarrow ((x — 2a)(x — 1) \leq 0) \);

а) \( (x < a) \lor (x — 2 > 0) \);

Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство \( x — 2 > 0 \). Это неравенство выполняется для \( x > 2 \).

Шаг 2: Поскольку второе условие истинно для \( x > 2 \), то первое условие \( x < a \) должно быть выполнено для всех значений \( x \), чтобы выражение было истинным для всех \( x \).

Шаг 3: Это возможно, если \( a > 2 \), так как тогда \( x < a \) всегда будет истинно для всех \( x \) меньших 2.

Ответ для а): \( a > 2 \).

б) \( ((x — 1)(x — a) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — 2) > 0) \);

Шаг 1: Рассмотрим неравенство \( (x — 1)(x — 2) > 0 \), которое выполняется для \( x < 1 \) или \( x > 2 \).

Шаг 2: Рассмотрим неравенство \( (x — 1)(x — a) \leq 0 \). Это неравенство выполняется при \( 1 \leq x \leq a \), так как его график пересекает ось абсцисс в точках \( x = 1 \) и \( x = a \).

Шаг 3: Мы ищем значения \( x \), при которых выполняется хотя бы одно из условий. Это возможно, если \( a \geq 2 \), так как на этом интервале оба неравенства выполняются.

Ответ для б): \( a \geq 2 \).

в) \( ((x — 1)(x — 2) \leq 0) \lor ((x — 1)(x — a) > 0) \);

Шаг 1: Рассмотрим неравенство \( (x — 1)(x — 2) \leq 0 \), которое выполняется для \( 1 \leq x \leq 2 \).

Шаг 2: Рассмотрим неравенство \( (x — 1)(x — a) > 0 \), которое выполняется при \( x < 1 \) или \( x > a \).

Шаг 3: Для того чтобы выражение было истинным для всех значений \( x \), нужно, чтобы одно из условий выполнялось всегда. Мы видим, что это возможно, если \( 1 \leq a \leq 2 \), так как на этом интервале оба неравенства выполняются.

Ответ для в): \( 1 \leq a \leq 2 \).

г) \( ((x — 2)(x — a) \geq 0) \rightarrow ((x — 3)(x — 1) \geq 0) \);

Шаг 1: Рассмотрим левую часть импликации \( (x — 2)(x — a) \geq 0 \). Это неравенство выполняется для \( x \leq 2 \) или \( x \geq a \), так как график функции пересекает ось \( x \) в точках \( x = 2 \) и \( x = a \).

Шаг 2: Рассмотрим правую часть импликации \( (x — 3)(x — 1) \geq 0 \), которое выполняется для \( x \leq 1 \) или \( x \geq 3 \), так как график функции пересекает ось \( x \) в точках \( x = 1 \) и \( x = 3 \).

Шаг 3: Импликация всегда ложна, если в промежутке \( (1, 3) \) левая часть \( (x — 2)(x — a) \geq 0 \) выполняется, а правая часть \( (x — 3)(x — 1) \geq 0 \) — нет. Таким образом, предикат не является тождеством, и решений для \( a \) не существует.

Ответ: \( a \geq 2 \).

д) \( ((x — 2)(x — a) < 0) \rightarrow ((x — 2a)(x — 1) \leq 0) \);

Шаг 1: Рассмотрим левую часть импликации \( (x — 2)(x — a) < 0 \). Это неравенство выполняется для \( 2 < x < a \).

Шаг 2: Рассмотрим правую часть импликации \( (x — 2a)(x — 1) \leq 0 \). Это неравенство выполняется для \( 1 \leq x \leq 2a \), так как его график пересекает ось \( x \) в точках \( x = 1 \) и \( x = 2a \).

Шаг 3: Чтобы импликация была истинной, значения \( x \in (2, a) \) должны лежать в интервале \( [1, 2a] \). Это возможно, если \( a \geq 1 \), так как только тогда правая часть будет выполняться для всех значений \( x \) из левой части.

Ответ: \( \emptyset \).

е) \( ((x — 2)(x — a) < 0) \rightarrow ((x — 2a)(x — 1) \leq 0) \);

Шаг 1: Рассмотрим левую часть импликации \( (x — 2)(x — a) < 0 \). Это неравенство выполняется для \( 2 < x < a \).

Шаг 2: Рассмотрим правую часть импликации \( (x — 2a)(x — 1) \leq 0 \). Это неравенство выполняется для \( 1 \leq x \leq 2a \), так как его график пересекает ось \( x \) в точках \( x = 1 \) и \( x = 2a \).

Шаг 3: Для того чтобы импликация была всегда истинной, \( x \in (2, a) \) должно быть в интервале \( [1, 2a] \). Это возможно, если \( a \geq 1 \), так как только тогда правая часть будет выполнена для всех значений \( x \) из левой части.

Ответ для е): \( a \geq 1 \).

Итог:

• а) \( a > 2 \);
• б) \( a \geq 2 \);
• в) \( 1 \leq a \leq 2 \);
• г) Пустое множество;
• д) \( a \geq 1 \);
• е) \( a \geq 1 \);