ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1087 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Изобразите на координатной прямой те значения \( x \), при которых предикат обращается в истинное высказывание:

а) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + 1 \leq 0) \);
б) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 + 1 < 0) \);
в) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 + x < 0) \);
г) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (|x| \leq 2) \).

Истинное высказывание:

а) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + 1 \leq 0) \);

\[
x^2 — 2x — 3 < 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16;
\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

\[
(x + 1)(x — 3) < 0;
\]

\[
-1 < x < 3;
\]

На координатной прямой:

б) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 + 1 < 0) \);

x² ≥ 0, x² + 1 ≥ 1 > 0, x ∈ ∅;

На координатной прямой:

в) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 + x < 0) \);

\[
x^2 — 2x — 3 \geq 0, \quad x^2 + x \geq 0;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16;
\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

\[
(x + 1)(x — 3) \geq 0, \quad x \leq -1, \quad x \geq 3;
\]

\[
x(x + 1) \geq 0, \quad x \leq -1, \quad x \geq 0;
\]

Все решения:

\[
x \leq -1, \quad x \geq 3;
\]

На координатной прямой:

г) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + x < 0) \land (|x| \leq 2) \);

\[
x^2 — 2x — 3 < 0, \quad x^2 + x < 0, \quad -2 \leq x \leq 2;
\]

\[
D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16;
\]

тогда:

\[
x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;
\]

\[
(x + 1)(x — 3) < 0, \quad -1 < x < 3;
\]

\[
x(x + 1) < 0, \quad -1 < x < 0;
\]

Все решения:

\[
-1 < x < 3;
\]

На координатной прямой:

Задача: Изобразите на координатной прямой те значения \( x \), при которых предикат обращается в истинное высказывание:

а) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + 1 \leq 0) \);

Шаг 1: Рассмотрим первое неравенство \( x^2 — 2x — 3 \geq 0 \). Разберем его:

Решим квадратное неравенство \( x^2 — 2x — 3 \geq 0 \). Для этого сначала решим квадратное уравнение \( x^2 — 2x — 3 = 0 \):

Дискриминант \( D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \).

Корни уравнения: \( x_1 = \frac{-(-2) — \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 — 4}{2} = -1 \) и \( x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = 3 \).

Таким образом, неравенство \( (x + 1)(x — 3) \geq 0 \) выполняется, когда \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \). Это означает, что выражение \( x^2 — 2x — 3 \geq 0 \) истинно на интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [3, +\infty) \).

Шаг 2: Рассмотрим второе неравенство \( x^2 + 1 \leq 0 \). Это неравенство невозможно, потому что \( x^2 + 1 \geq 1 \) для всех значений \( x \). То есть, оно всегда ложно.

Шаг 3: Теперь исследуем дизъюнкцию \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (x^2 + 1 \leq 0) \). Поскольку второе неравенство ложно, выражение будет истинно, если первое неравенство истинно. Мы уже знаем, что оно истинно при \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \).

Ответ для а): Истинное высказывание выполняется для \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \).

б) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 + 1 < 0) \);

Шаг 1: Мы уже знаем, что неравенство \( x^2 — 2x — 3 \geq 0 \) выполняется при \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \). Однако, второе неравенство \( x^2 + 1 < 0 \) не имеет решений, потому что для любого \( x \) всегда выполняется неравенство \( x^2 + 1 \geq 1 \). Это противоречие, следовательно, данное выражение всегда ложно.

Ответ для б): Нет решений, так как второе неравенство всегда ложно.

в) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \land (x^2 + x < 0) \);

Шаг 1: Мы уже знаем, что неравенство \( x^2 — 2x — 3 \geq 0 \) выполняется при \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \).

Шаг 2: Рассмотрим второе неравенство \( x^2 + x < 0 \). Это неравенство можно решить, решив уравнение \( x^2 + x = 0 \), которое даёт корни \( x = 0 \) и \( x = -1 \). Таким образом, неравенство выполняется для \( -1 < x < 0 \), так как парабола пересекает ось \( x \) в этих точках.

Шаг 3: Теперь нам нужно найти пересечение решений двух неравенств: \( x^2 — 2x — 3 \geq 0 \) и \( x^2 + x < 0 \). Первое неравенство выполняется для \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \), а второе неравенство выполняется для \( -1 < x < 0 \). Пересечением этих двух условий является интервал \( -1 < x < 0 \), так как на этом промежутке оба неравенства выполняются.

Ответ для в): Истинное высказывание выполняется для \( -1 < x < 0 \).

г) \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (|x| \leq 2) \);

Шаг 1: Мы уже знаем, что неравенство \( x^2 — 2x — 3 \geq 0 \) выполняется для \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \).

Шаг 2: Рассмотрим выражение \( |x| \leq 2 \). Это неравенство выполняется для \( -2 \leq x \leq 2 \), то есть для промежутка от -2 до 2.

Шаг 3: Рассматриваем дизъюнкцию (логическое «или»): \( (x^2 — 2x — 3 \geq 0) \lor (|x| \leq 2) \). Это выражение истинно, если выполняется хотя бы одно из условий. Таким образом, оно истинно для \( x \in (-\infty, -1] \cup [-2, 2] \cup [3, +\infty) \). На координатной прямой это будет выглядеть так:

Ответ для г): \( x \in (-\infty, -1] \cup [-2, 2] \cup [3, +\infty) \).

Итог:

• а) Истинное высказывание для \( x \leq -1 \) или \( x \geq 3 \);
• б) Нет решений;
• в) Истинное высказывание для \( -1 < x < 0 \);
• г) Истинное высказывание для \( x \in (-\infty, -1] \cup [-2, 2] \cup [3, +\infty) \).