ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1084 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любых истинностных значениях высказываний \( A \), \( B \) и \( C \):

а) высказывание \( \left( A \land (A \rightarrow B) \right) \rightarrow B \) истинно;
б) высказывание \( \left( (A \rightarrow B) \land \overline{B} \right) \rightarrow \overline{A} \) истинно;
в) высказывание \( \left( B \lor C \right) \land \left( A \land \overline{C} \right) = \left( A \lor B \right) \lor C \);
г) высказывание \( \left( \overline{A \land B} \right) \rightarrow \left( \overline{B} \land A \right) = A \).

Доказать истинность:

-а) \( \left( A \land (A \rightarrow B) \right) \rightarrow B = T \);
\[
\left( A \land \overline{A} \cup B \right) \rightarrow B = T;
\]

\[
(F \cup B) \rightarrow B = T, \quad B \rightarrow B = T;
\]

Что и требовалось доказать.

б) \( \left( (A \rightarrow B) \cap \overline{B} \right) \rightarrow \overline{A} = T \);

\[
\left( \overline{A} \cup B \cap \overline{B} \right) \rightarrow \overline{A} = T;
\]

\[
\left( \overline{A} \cup F \right) \rightarrow \overline{A} = T, \quad \overline{A} \rightarrow \overline{A} = T;
\]

Что и требовалось доказать.

в) \( \left( B \lor C \right) \cup \left( A \land \overline{C} \right) = \left( A \lor B \right) \lor C \);
\[
\left( B \cup C \right) \cup \left( A \land \overline{C} \right) = \left( B \cup C \right) \cup A;
\]

Если \( C \) — истина, тогда:

\[
\text{И} \cup \left( A \land \text{Л} \right) = \text{И} \cup A;
\]

\[
\text{И} \cup \text{Л} = \text{И} \cup A, \quad \text{И} = \text{И};
\]

Если \( C \) — ложь, тогда:

\[
\left( B \cup \text{Л} \right) \cup \left( A \land \overline{\text{Л}} \right) = \left( B \cup \text{Л} \right) \cup A;
\]

\[
B \cup \left( A \land \text{И} \right) = B \cup A, \quad B \cup A = B \cup A;
\]

Что и требовалось доказать.

г) \( \left( \overline{A \land B} \right) \rightarrow \left( \overline{B} \land A \right) = A \);
\[
\left( \overline{A \cup B} \right) \rightarrow \left( \overline{B} \land A \right) = A;
\]

\[
\left( \overline{A \cup B} \right) \cup \left( \overline{B} \land A \right) = A;
\]

\[
A \land \left( B \cup \overline{B} \right) = A, \quad A \land T = A;
\]

Что и требовалось доказать.

Задача: Докажите, что при любых истинностных значениях высказываний \( A \), \( B \) и \( C \):

а) Высказывание \( \left( A \land (A \rightarrow B) \right) \rightarrow B \) истинно;

Шаг 1: Начнем с анализа выражения \( A \land (A \rightarrow B) \). Мы знаем, что импликация \( A \rightarrow B \) эквивалентна \( \overline{A} \lor B \). Таким образом, мы можем записать:

\( A \land (A \rightarrow B) = A \land (\overline{A} \lor B) \)

Шаг 2: Применим распределительное свойство:

\( A \land (\overline{A} \lor B) = (A \land \overline{A}) \lor (A \land B) \)

Шаг 3: Поскольку \( A \land \overline{A} \) всегда ложно (это противоречие), то остаётся:

\( A \land (A \rightarrow B) = A \land B \)

Шаг 4: Теперь рассмотрим импликацию \( \left( A \land (A \rightarrow B) \right) \rightarrow B \), или \( (A \land B) \rightarrow B \). Поскольку \( A \land B \) означает, что оба высказывания истинны, то \( B \) обязательно истинно.

Ответ для а): \( \left( A \land (A \rightarrow B) \right) \rightarrow B \) всегда истинно.

б) Высказывание \( \left( (A \rightarrow B) \land \overline{B} \right) \rightarrow \overline{A} \) истинно;

Шаг 1: Разберем выражение \( A \rightarrow B \), которое эквивалентно \( \overline{A} \lor B \). Подставляем это в исходное высказывание:

\( \left( (\overline{A} \lor B) \land \overline{B} \right) \rightarrow \overline{A} \)

Шаг 2: Применим свойства логики:

\( (\overline{A} \lor B) \land \overline{B} = \overline{A} \land \overline{B} \)

Шаг 3: Теперь у нас есть импликация \( (\overline{A} \land \overline{B}) \rightarrow \overline{A} \). Поскольку \( \overline{A} \) истинно, если \( \overline{A} \land \overline{B} \) истинно, импликация всегда верна.

Ответ для б): \( \left( (A \rightarrow B) \land \overline{B} \right) \rightarrow \overline{A} \) всегда истинно.

в) Высказывание \( \left( B \lor C \right) \land \left( A \land \overline{C} \right) = \left( A \lor B \right) \lor C \);

Шаг 1: Начнем с левой части выражения: \( (B \lor C) \land (A \land \overline{C}) \). Применим распределительное свойство логики:

\( (B \lor C) \land (A \land \overline{C}) = (B \land A \land \overline{C}) \lor (C \land A \land \overline{C}) \)

Шаг 2: Заметим, что \( C \land \overline{C} = 0 \), следовательно, остаётся только:

\( (B \land A \land \overline{C}) \)

Шаг 3: Теперь рассмотрим правую часть выражения \( (A \lor B) \lor C \). Мы видим, что эта часть просто объединяет все возможные элементы, и, в случае, если \( C \) истинно, то \( C \) будет истиной. Если \( C \) ложно, то правое выражение сводится к \( A \lor B \).

Шаг 4: Проверим, что обе стороны равны. В случае, если \( C \) истинно, обе стороны равны \( C \), а в случае, если \( C \) ложно, то обе стороны равны \( A \lor B \).

Ответ для в): \( \left( B \lor C \right) \land \left( A \land \overline{C} \right) = \left( A \lor B \right) \lor C \) всегда истинно.

г) Высказывание \( \left( \overline{A \land B} \right) \rightarrow \left( \overline{B} \land A \right) = A \);

Шаг 1: Разберем выражение \( \overline{A \land B} \). Это эквивалентно \( \overline{A} \lor \overline{B} \) по закону Де Моргана.

Теперь рассмотрим импликацию: \( (\overline{A} \lor \overline{B}) \rightarrow (\overline{B} \land A) \).

Шаг 2: Рассмотрим два возможных случая для \( A \) и \( B \):

• Если \( A \) истинно, то \( A = \text{И} \) и импликация истинна;
• Если \( A \) ложно, то \( A = \text{Л} \), и обе стороны выражения будут ложными, так как правое выражение будет ложно.

Ответ для г): \( \left( \overline{A \land B} \right) \rightarrow \left( \overline{B} \land A \right) = A \) всегда истинно.

Итог:

• а) \( \left( A \land (A \rightarrow B) \right) \rightarrow B \) всегда истинно;
• б) \( \left( (A \rightarrow B) \land \overline{B} \right) \rightarrow \overline{A} \) всегда истинно;
• в) \( \left( B \lor C \right) \land \left( A \land \overline{C} \right) = \left( A \lor B \right) \lor C \) всегда истинно;
• г) \( \left( \overline{A \land B} \right) \rightarrow \left( \overline{B} \land A \right) = A \) всегда истинно.