ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1083 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

В последовательности \( (a_n) \) известно, что \( a_{m+n} = 60 \), \( a_{m-n} = 15 \). Найдите \( a_m \), если известно, что:

а) \( (a_n) \) — арифметическая прогрессия;
б) \( (a_n) \) — геометрическая прогрессия.

Дана последовательность:
\[
a_{m+n} = 60, \quad a_{m-n} = 15;
\]

а) Арифметическая прогрессия:
\[
a_{m+n} = a_1 + (m+n-1)d = 60;
\]

\[
a_{m-n} = a_1 + (m-n-1)d = 15;
\]

\[
2a_1 + (2m — 2)d = 75;
\]

\[
a_m = a_1 + (m-1)d = 37.5;
\]

Ответ: \( 37.5 \).

б) Геометрическая прогрессия:
\[
a_{m+n} = a_1 \cdot q^{m+n-1} = 15 \cdot 2 \cdot 2;
\]

\[
a_{m-n} = a_1 \cdot q^{m-n-1} = 15;
\]

\[
a_1^2 \cdot q^{2m-2} = 15^2 \cdot 2^2;
\]

\[
a_m = a_1 \cdot q^{m-1} = \pm 30;
\]

Ответ: \( -30; 30 \).

Задача: В последовательности \( (a_n) \) известно, что \( a_{m+n} = 60 \), \( a_{m-n} = 15 \). Найдите \( a_m \), если известно, что:

а) \( (a_n) \) — арифметическая прогрессия;

Шаг 1: В арифметической прогрессии общее выражение для \( n \)-го члена последовательности имеет вид:

\( a_n = a_1 + (n-1) \cdot d \), где \( a_1 \) — первый член прогрессии, \( d \) — разность прогрессии.

Шаг 2: Для \( a_{m+n} = 60 \) и \( a_{m-n} = 15 \) запишем два уравнения:

Для \( a_{m+n} \): \( a_1 + (m+n-1) \cdot d = 60 \);

Для \( a_{m-n} \): \( a_1 + (m-n-1) \cdot d = 15 \).

Шаг 3: Теперь вычитаем второе уравнение из первого:

\( \left( a_1 + (m+n-1) \cdot d \right) — \left( a_1 + (m-n-1) \cdot d \right) = 60 — 15 \),

что упрощается до:

\( 2n \cdot d = 45 \),

отсюда:

\( d = \frac{45}{2n} \).

Шаг 4: Для нахождения \( a_m \) используем выражение для \( a_m \):

\( a_m = a_1 + (m-1) \cdot d \),

где \( d \) уже найдено. Подставляем это значение в уравнение для \( a_m \):

\( a_m = a_1 + (m-1) \cdot \frac{45}{2n} \).

Ответ для а): \( a_m = 37.5 \).

б) \( (a_n) \) — геометрическая прогрессия;

Шаг 1: В геометрической прогрессии общее выражение для \( n \)-го члена последовательности имеет вид:

\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \), где \( a_1 \) — первый член прогрессии, \( q \) — знаменатель прогрессии (или её множитель).

Шаг 2: Для \( a_{m+n} = 60 \) и \( a_{m-n} = 15 \) запишем два уравнения:

Для \( a_{m+n} \): \( a_1 \cdot q^{m+n-1} = 60 \);

Для \( a_{m-n} \): \( a_1 \cdot q^{m-n-1} = 15 \).

Шаг 3: Теперь мы можем выразить \( a_1 \) из второго уравнения:

\( a_1 = \frac{15}{q^{m-n-1}} \).

Подставим это в первое уравнение:

\( \frac{15}{q^{m-n-1}} \cdot q^{m+n-1} = 60 \),

что упрощается до:

\( 15 \cdot q^{2n} = 60 \),

отсюда:

\( q^{2n} = 4 \),

и, соответственно:

\( q = 2 \) или \( q = -2 \).

Шаг 4: Теперь мы можем найти \( a_m \). Используя формулу для \( a_n \), получаем:

\( a_m = a_1 \cdot q^{m-1} = \frac{15}{q^{m-n-1}} \cdot q^{m-1} \),

что после подстановки даёт:

\( a_m = 30 \) или \( a_m = -30 \), в зависимости от значения \( q \).

Ответ для б): \( a_m = 30 \) или \( a_m = -30 \).

Итог:

а) \( a_m = 37.5 \);

б) \( a_m = 30 \) или \( a_m = -30 \);