ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1081 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Определите характер монотонности функции:

а) \( y = x^2 + 2x + 3 \);
б) \( y = x^2 — 2x — 3 \);
в) \( y = 2x + \sqrt{2x + 3} \);
г) \( y = 3 — x + \sqrt{3 — 2x} \).

Промежутки монотонности:

— а) \( y = x^2 + 2x + 3 \);
\[
x_0 = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -\frac{2}{2} = -1;
\]

Ответ: возрастает на \([-1; +\infty)\);
убывает на \((-∞; -1]\).

б) \( y = x^2 — 2x — 3 \);
\[
x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1;
\]

Ответ: возрастает на \([1; +\infty)\);
убывает на \((-∞; 1]\).

в) \( y = 2x + \sqrt{2x + 3} \);
Область определения:
\[
2x + 3 \geq 0, \quad x \geq -1.5;
\]

Ответ: возрастает на \([-1.5; +\infty)\).

г) \( y = 3 — x + \sqrt{3 — 2x} \);
Область определения:
\[
3 — 2x \geq 0, \quad x \leq 1.5;
\]

Ответ: убывает на \((-∞; 1.5]\).

Задача: Определите характер монотонности функции:

а) \( y = x^2 + 2x + 3 \);

Шаг 1: Чтобы найти промежутки монотонности функции, необходимо вычислить её производную и исследовать знак производной на различных промежутках.

Производная функции:

Для функции \( y = x^2 + 2x + 3 \) производная будет:

\( y’ = \frac{d}{dx}(x^2 + 2x + 3) = 2x + 2 \)

Шаг 2: Найдем критическую точку, при которой производная равна нулю. Это нужно для того, чтобы понять, где функция изменяет своё поведение (возрастает или убывает).

\( 2x + 2 = 0 \Rightarrow x = -1 \)

Таким образом, критическая точка — это \( x = -1 \).

Шаг 3: Теперь нужно исследовать знак производной на разных промежутках, чтобы понять, на каких отрезках функция возрастает, а на каких убывает.

• Для \( x > -1 \) (например, при \( x = 0 \)): \( y’ = 2(0) + 2 = 2 \), то есть производная положительна, следовательно, функция возрастает;
• Для \( x < -1 \) (например, при \( x = -2 \)): \( y’ = 2(-2) + 2 = -2 \), то есть производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ для а): Функция возрастает на промежутке \([-1; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-∞; -1]\).

б) \( y = x^2 — 2x — 3 \);

Шаг 1: Найдем производную функции:

\( y’ = \frac{d}{dx}(x^2 — 2x — 3) = 2x — 2 \)

Шаг 2: Найдем критическую точку, при которой производная равна нулю:

\( 2x — 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \)

Таким образом, критическая точка — это \( x = 1 \).

Шаг 3: Исследуем знак производной на разных промежутках:

• Для \( x > 1 \) (например, при \( x = 2 \)): \( y’ = 2(2) — 2 = 2 \), то есть производная положительна, следовательно, функция возрастает;
• Для \( x < 1 \) (например, при \( x = 0 \)): \( y’ = 2(0) — 2 = -2 \), то есть производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

Ответ для б): Функция возрастает на промежутке \([1; +\infty)\) и убывает на промежутке \((-∞; 1]\).

в) \( y = 2x + \sqrt{2x + 3} \);

Шаг 1: Определим область определения функции. Так как под квадратным корнем должно быть неотрицательное число, то:

\( 2x + 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1.5 \). Таким образом, область определения функции — это \( x \geq -1.5 \).

Шаг 2: Находим производную функции:

\( y’ = \frac{d}{dx}\left(2x + \sqrt{2x + 3}\right) = 2 + \frac{1}{2\sqrt{2x + 3}} \cdot 2 = 2 + \frac{1}{\sqrt{2x + 3}} \)

Шаг 3: Обратите внимание, что в производной выражение \( \frac{1}{\sqrt{2x + 3}} \) всегда положительно для \( x \geq -1.5 \), так как \( \sqrt{2x + 3} \) всегда положительно для этой области определения. Следовательно, производная всегда положительна.

Это означает, что функция всегда возрастает на промежутке \([-1.5; +\infty)\).

Ответ для в): Функция возрастает на промежутке \([-1.5; +\infty)\).

г) \( y = 3 — x + \sqrt{3 — 2x} \);

Шаг 1: Определим область определения функции. Для того чтобы выражение под квадратным корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы:

\( 3 — 2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1.5 \). Таким образом, область определения функции — это \( x \leq 1.5 \).

Шаг 2: Находим производную функции:

\( y’ = \frac{d}{dx}(3 — x + \sqrt{3 — 2x}) = -1 + \frac{-2}{2\sqrt{3 — 2x}} = -1 — \frac{1}{\sqrt{3 — 2x}} \)

Шаг 3: Производная всегда отрицательна для всех значений \( x \leq 1.5 \), так как выражение \( \frac{1}{\sqrt{3 — 2x}} \) всегда положительно, а перед ним стоит отрицательный знак. Следовательно, функция всегда убывает на промежутке \((-∞; 1.5]\).

Ответ для г): Функция убывает на промежутке \((-∞; 1.5]\).

Итог:

• а) Возрастает на \([-1; +\infty)\), убывает на \((-∞; -1]\);
• б) Возрастает на \([1; +\infty)\), убывает на \((-∞; 1]\);
• в) Возрастает на \([-1.5; +\infty)\);
• г) Убывает на \((-∞; 1.5]\).