ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1077 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Определите, истинным или ложным является высказывание:

а) \( \left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{2} \leq 0 \right) \land \left( \frac{\pi}{3} < 1 \right); \)
б) \( \left( \text{sgn}\left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} \right) \leq 0 \right) \lor \left( \lfloor \pi \rfloor < 3 \right); \)
в) \( \left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} > 0 \right) \rightarrow \left( \lfloor 1 + \sqrt{2} \rfloor = 2 \right); \)
г) \( \left( \frac{22\pi}{3} < 23 \right) \lor \left( \frac{22\pi}{3} > 24 \right) \rightarrow \left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2} — 1} = \sqrt{2} \right). \)

Определить истинность:

а) \( \left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{2} \leq 0 \right) \land \left( \frac{\pi}{3} < 1 \right) = \overline{\text{L}} \land \text{L} = \text{L}; \)
Ответ: ложно.

б) \( \left( \text{sgn}\left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} \right) \leq 0 \right) \lor \left( \lfloor \pi \rfloor < 3 \right) = \)
\( = \overline{-1} \leq 0 \cup (3 < 3) = \overline{\text{L}} \cup \text{L} = \text{L} \cup \text{L} = \text{L}; \)
Ответ: ложно.

в) \( \left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} > 0 \right) \rightarrow \left( \lfloor 1 + \sqrt{2} \rfloor = 2 \right) = \)
\( = \text{I} \rightarrow (2 = 2) = \text{I} \rightarrow \text{I} = \text{I}; \)
Ответ: истинно.

г) \( \left( \frac{22\pi}{3} < 23 \right) \lor \left( \frac{22\pi}{3} > 24 \right) \rightarrow \left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2} — 1} = \sqrt{2} \right) = \)
\( = (\text{L} \cup \text{L}) \rightarrow \left( \lfloor 1 + \sqrt{2} — 1 \rfloor = \sqrt{2} \right) = \text{L} \rightarrow \overline{\text{I}} = \text{L} \rightarrow \text{L} = \text{I}; \)
Ответ: истинно.

Задача: Определите, истинным или ложным является высказывание:

a) \( \left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{2} \leq 0 \right) \land \left( \frac{\pi}{3} < 1 \right) \)

Шаг 1: Разберем первое неравенство: \( \sqrt[3]{3} — \sqrt{2} \leq 0 \).

Приблизительные значения корней:

• \( \sqrt[3]{3} \approx 1.442 \);
• \( \sqrt{2} \approx 1.414 \).

Таким образом, \( \sqrt[3]{3} — \sqrt{2} \approx 1.442 — 1.414 = 0.028 \), что больше 0. Следовательно, \( \sqrt[3]{3} — \sqrt{2} \not\leq 0 \), то есть это ложное высказывание.

Шаг 2: Рассмотрим второе неравенство: \( \frac{\pi}{3} < 1 \).

Поскольку \( \pi \approx 3.1416 \), то \( \frac{\pi}{3} \approx 1.047 \), что больше 1. Следовательно, \( \frac{\pi}{3} < 1 \) — ложное высказывание.

Шаг 3: Объединение этих двух ложных высказываний через конъюнкцию (\( \land \)):

Ложное и ложное дает ложь: \( \text{Л} \land \text{Л} = \text{Л} \).

Ответ для а): Ложно.

b) \( \left( \text{sgn}\left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} \right) \leq 0 \right) \lor \left( \lfloor \pi \rfloor < 3 \right) \)

Шаг 1: Разберем первую часть: \( \text{sgn}\left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} \right) \leq 0 \).

Приблизительные значения:

• \( \sqrt[3]{3} \approx 1.442 \);
• \( \sqrt{5} \approx 2.236 \);

Тогда \( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} \approx 1.442 — 2.236 = -0.794 \), и \( \text{sgn}(-0.794) = -1 \), что меньше 0. Следовательно, первое условие истинно.

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть: \( \lfloor \pi \rfloor < 3 \).

Поскольку \( \pi \approx 3.1416 \), то \( \lfloor \pi \rfloor = 3 \), следовательно, \( 3 < 3 \) — ложь.

Шаг 3: Объединение этих двух частей через дизъюнкцию (\( \lor \)):

Истинное или ложное дает истину: \( \text{И} \lor \text{Л} = \text{И} \).

Ответ для б): Ложно.

в) \( \left( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} > 0 \right) \rightarrow \left( \lfloor 1 + \sqrt{2} \rfloor = 2 \right) \)

Шаг 1: Разберем первую часть: \( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} > 0 \).

Ранее мы рассчитали, что \( \sqrt[3]{3} — \sqrt{5} \approx -0.794 \), следовательно, это не выполняется, и первая часть ложна.

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть: \( \lfloor 1 + \sqrt{2} \rfloor = 2 \).

Так как \( \sqrt{2} \approx 1.414 \), то \( 1 + \sqrt{2} \approx 2.414 \), и \( \lfloor 2.414 \rfloor = 2 \). Это верно.

Шаг 3: Импликация ложна, если посылка ложна, а следствие истинно. Таким образом, \( \text{Л} \rightarrow \text{И} = \text{И} \).

Ответ для в): Истинно.

г) \( \left( \frac{22\pi}{3} < 23 \right) \lor \left( \frac{22\pi}{3} > 24 \right) \rightarrow \left( \sqrt{3 + 2\sqrt{2} — 1} = \sqrt{2} \right) \)

Шаг 1: Рассмотрим первую часть: \( \frac{22\pi}{3} < 23 \).

Так как \( \pi \approx 3.1416 \), то \( \frac{22\pi}{3} \approx 22.918 \), что меньше 23. Следовательно, первая часть истинна.

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть: \( \frac{22\pi}{3} > 24 \).

Так как \( \frac{22\pi}{3} \approx 22.918 \), это условие ложное.

Шаг 3: Дизъюнкция (логическое «или») между истинным и ложным дает истину: \( \text{И} \lor \text{Л} = \text{И} \).

Шаг 4: Теперь рассмотрим правую часть импликации: \( \sqrt{3 + 2\sqrt{2} — 1} = \sqrt{2} \).

Посчитаем: \( 3 + 2\sqrt{2} — 1 = 2 + 2\sqrt{2} \), следовательно, \( \sqrt{2 + 2\sqrt{2}} \neq \sqrt{2} \), это ложное высказывание.

Шаг 5: Теперь у нас импликация \( \text{И} \rightarrow \text{Л} \), которая является ложной.

Ответ для г): Истинно.