ГДЗ по Алгебре 9 Класс Глава 6 Номер 1075 Углубленный Уровень Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Запишите символически определение ограниченной функции. Запишите символически и сформулируйте отрицание этого предложения.

Ограниченная функция:

\[
\exists c > 0, \forall x_0 \in X : |f(x_0)| \leq c;
\]

Отрицание высказывания:

\[
\forall c > 0, \exists x_0 \in X : |f(x_0)| > c;
\]

Функция неограничена, если для любых значений \( c > 0 \) найдется такое значение \( x_0 \in X \), при котором \( |f(x_0)| > c \).

Задача: Запишите символически определение ограниченной функции. Запишите символически и сформулируйте отрицание этого предложения.

Определение ограниченной функции:

Функция \( f(x) \) называется ограниченной, если существует такая константа \( c > 0 \), что для всех значений \( x_0 \) из области определения \( X \) выполняется условие:

\( \exists c > 0, \forall x_0 \in X : |f(x_0)| \leq c \)

Это означает, что существует такая верхняя граница \( c \), которая ограничивает значения функции \( f(x_0) \) по модулю для всех \( x_0 \in X \).

Отрицание высказывания:

Отрицание утверждения «существует \( c > 0 \), такое что для всех \( x_0 \in X \), \( |f(x_0)| \leq c \)» будет следующим:

\( \forall c > 0, \exists x_0 \in X : |f(x_0)| > c \)

Это означает, что для любых значений \( c > 0 \) найдется хотя бы одно значение \( x_0 \in X \), для которого \( |f(x_0)| \) будет больше, чем \( c \), то есть функция неограничена.

Пояснение:

• Определение ограниченной функции: Это утверждение говорит о том, что существует некая константа \( c \), которая ограничивает все значения функции \( f(x_0) \) по модулю, независимо от того, какое \( x_0 \) мы подставляем из области определения \( X \).
• Отрицание: Отрицание утверждения означает, что для каждого \( c > 0 \) можно найти такие значения \( x_0 \), для которых \( |f(x_0)| \) будет превышать \( c \), то есть функция будет неограниченной.

Ответ: Определение ограниченной функции: \( \exists c > 0, \forall x_0 \in X : |f(x_0)| \leq c \). Отрицание: \( \forall c > 0, \exists x_0 \in X : |f(x_0)| > c \).